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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 6

Use a regra da cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t .

6-

w = x y + y z 2 ,           x = e t ,         y = e t   s e n   t ,       z = e t cos ⁡ t

Passo 1

Faaala galera! Tudo certo?

Nessa questão a gente tem a função w = f ( x , y , z ) :

w = x y + y z 2

e a questão quer que a gente determine d z / d t ou d w / d t . Vamos determinar d w / d t .

Veja que w   não depende explicitamente de t , mas indiretamente por meio de x , y   e z . Dessa forma, vamos precisar da regra da cadeia!

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) , onde x = x ( t ) , a derivada de f com relação a t seria:

d f x d t = d f d x ⋅ d x d t

Assim, se temos uma função w = f ( x , y , z ) , onde x , y e z são funções de um parâmetro t , fazemos a mesma coisa para cada variável e somamos os resultados:

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x ⋅ d x d t +   ∂ w ∂ y ⋅ d y d t + ∂ w ∂ z ⋅ d z d t

Então o nosso trabalho vai ser calcular essas derivadas.

Tranquilo? Vem comigo.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro termo.

Lembrando que

w = x y + y z 2

e x = e t ,         y = e t   s e n   t ,       z = e t cos ⁡ t , teremos:

∂ w ∂ x = ∂ ∂ x   x y + y z 2

Como só o primeiro termo depende de x , então

∂ w ∂ x = y

Agora derivamos x com relação ao parâmetro t :

d x d t = d d t e t = e t

Logo:

∂ w ∂ x d x d t = y e t

Passo 3

Agora vamos para o segundo termo.

Derivando w com respeito a y :

∂ w ∂ y = ∂ ∂ y ( x y + y z 2 )

Ambos os termos possuem uma primeira potência de y , então a derivada resulta em:

∂ w ∂ y = x + z 2

Agora derivamos y com respeito a t :

d y d y = d d t ( e t sen ⁡ t )  

Aqui temos o produto de duas funções de t , então precisaremos da regra do produto:

d d t f t ⋅ g t = f ' t ⋅ g t + f t ⋅ g ' t

Assim,

d y d t = d e t d t sen ⁡ t + e t d d t ( sen ⁡ t )

d y d t = e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t

Logo:

∂ w ∂ y d y d t = ( x + z 2 ) e t ( cos ⁡ t + sin ⁡ t )

Passo 4

Por fim, chegamos ao último termo.

Lembrando que

w = x y + y z 2

e x = e t ,         y = e t   s e n   t ,       z = e t cos ⁡ t , teremos:

∂ w ∂ z = ∂ ∂ z x y + y z 2

∂ w ∂ z = 2 y z

Agora derivamos z com relação a t .   Precisaremos da regra do produto novamente, de modo que

d z d t = d e t d t cos ⁡ t + e t d d t ( cos ⁡ t )

d z d t = e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t

Logo:

∂ w ∂ z d z d t = 2 y z e t ( cos ⁡ t - sin ⁡ t )

Passo 5

Juntando todos os passos temos:

d w d t = y e t + x + z 2   e t ( cos ⁡ t + sin ⁡ t ) + 2   y   z   e t ( cos ⁡ t - sin ⁡ t )

Resposta

d w d t = y e t + x + z 2   e t   ( cos ⁡ t + sin ⁡ t ) + 2   y   z   e t ( cos ⁡ t - sin ⁡ t )

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Nos Exercícios 1-6, (a) expresse d w / d t como uma função de t, utilizando a regra da cadeia, expressando w em termos de t e diferenciando diretamente com relação a t. Em seguida, (b) calcule dw/dt n