Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 16
16. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
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Passo 1
Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
Aqui a gente vai encontrar os valores máximos e mínimos da função:
Com as restrições:
Como ele nos disse para usar os multiplicadores de Lagrange e temos duas restrições vamos fazer o seguinte:
Onde e . Veja que teremos que calcular as derivadas parciais das funções, pois os gradientes são dados por:
As derivadas parciais são calculadas derivando em relação a variável que a gente quer, e considerando todas as outras variáveis como constantes.
Após realizarmos os cálculos do gradiente, teremos então um sistema, desse sistema iremos encontrar os valores de em função de e , com isso iremos substituir nas equações das restrições e finalmente iremos encontrar os valores numéricos das variáveis.
Com esses pontos iremos substituir na função, o ponto que nos der o maior valor é o ponto de máxima, e o ponto que nos der o menor valor é o ponto de mínimo.
Passo 2
Agora vamos achar os vetores gradientes:
Logo,
A função é a seguinte:
Então o vetor gradiente fica:
Agora vamos ver como fica o :
Assim,
Por fim, vamos achar :logo:Substituindo na equação :
Passo 3
Montando o sistema, deveremos satisfazer as igualdades de cada coordenada:
Essas duas últimas equações, são do enunciado, são as nossas restrições. Da segunda equação:
logo:
Isolando e das duas primeiras equações e substituindo na última:
logo,
Portanto,
No caso de :
Mas da penúltima equação do nosso sistema:
Assim,
Substituindo:
No caso de , é só fazer a mesma coisa e chegamos em:
,
Passo 4
Pra finalizar, vamos achar os valores de :
Assim,
Este representará o ponto de mínimo.
Para o outro ponto:
Logo,
E este representará o ponto de máximo.
Resposta
é o mínimo
é o máximo