Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais, nos pontos indicados.

a) t - 3 t - 3 i → + t 2 j → ,   t ≠ 3 0 ,       t = 3 em t = 0 e t = 3 .

Passo 1

Galera, partiu calcular esse limite! Vamos analisar primeiro para t = 0 .

lim t → 0 ⁡ f → t = lim t → 0 ⁡ t - 3 t - 3 i → + t 2 j →

lim t → 0 ⁡ f → t = - i → + 0 2 j →

lim t → 0 ⁡ f → t = - i → = f → ( 0 )

Portanto, é contínua em t = 0 !

Passo 2

Agora, quando temos t = 3 :

lim t → 3 ⁡ f → t = lim t → 3 ⁡ t - 3 t - 3 i → + t 2 j →

Vamos analisar pelos dois lados da tendência. Quando nos aproximamos pela esquerda, nossa função é 3 - t t - 3 i → + t 2 j → e quando nos aproximamos pela direita, temos t - 3 t - 3 i → + t 2 j → . Assim,

lim t → 3 - ⁡ 3 - t t - 3 i → + t 2 j → = lim t → 3 - ⁡ 3 - t t - 3 i → + lim t → 3 - ⁡ t 2 j →

= 0 0 i → + 9 j →

Temos uma indeterminação aqui! Aplicando a regra de L’Hospital, temos:

lim t → 3 - ⁡ 3 - t t - 3 i → + t 2 j → = lim t → 3 - ⁡ - i → + lim t → 3 - ⁡ t 2 j →

= - i → + 9 j →

Agora, olhando pelo lado direito:

lim t → 3 + ⁡ t - 3 t - 3 i → + t 2 j → = lim t → 3 + ⁡ t - 3 t - 3 i → + t 2 j →

= lim t → 3 + ⁡ i → + t 2 j → = i → + 9 j →

Como lim t → 3 - ⁡ f → ( t ) ≠ lim t → 3 = ⁡ f → ( t ) , não existe o limite! Logo, a função não é contínua em t = 3 .

Resposta

lim t → 0 ⁡ f → t = - i → e é contínua em t = 0 .

∄ lim t → 3 ⁡ f → t e não é contínua em t = 3 .

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Provar os itens a), b) e c) das propriedades 2.5.3.