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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 27

Verifique os resultados fornecidos no texto (após o Exemplo 4) para a altura máxima, tempo de voo e alcance para um movimento de projétil ideal.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Esse é um exercício de física, contudo, aprendemos nesse capítulo algumas equações para resolver esse tipo de exercício, então bora.

Precisamos descobrir se as fórmulas de altura máxima, tempo de voo e alcance estão corretas, então bora.

Passo 2

Vamos começar com o tempo de voo, porque vai ser importante para as próximas. Podemos descobrir o tempo quando o projétil aterrissa no solo, ou seja, y é 0.

y = v 0 y t - 1 2 g t 2

0 = v 0 s e n   α   t - 1 2 g t 2

Vamos fatorar o t.

t v 0 s e n   α - 1 2 g t = 0

Então t é 0 ou t é:

v 0 s e n   α - 1 2 g t = 0

t = 2 v 0 s e n   α g

Essa é a fórmula do tempo de voo!

Passo 3

Para descobrirmos a altura máxima, precisamos derivar a função horária da posição para encontrar o tempo em que a altura máxima é atingida, pois a derivada de uma função representa seu ponto máximo.

y = v 0 s e n   α   t - 1 2 g t 2

d y d t = v 0 s e n   α - g t = 0

t = v 0 s e n   α g

Agora que sabemos em que tempo o objeto atinge a altura máxima, vamos substituir esse tempo na função da posição para encontrar a altura máxima.

y m a x = v 0 s e n   α v 0 s e n   α g - 1 2 g v 0 s e n   α g 2

y m a x = v 0 s e n   α 2 g - v 0 s e n   α 2 2 g

y m a x = v 0 s e n   α 2 2 g

E ai está a altura máxima que o projétil atinge.

Passo 4

Por fim, vamos encontrar o alcance a partir da fórmula do lançamento horizontal, utilizando o tempo de voo encontrado,

x = v 0 x t

A = v 0 cos ⁡ α ⋅ 2 v 0 s e n   α g

A = v 0 2 g ( 2 cos ⁡ α s e n   α )

Das relações trigonométricas, 2 cos ⁡ α s e n   α = s e n   2 α ,

A = v 0 2 g s e n   2 α

E finalizamos as demonstrações.

Bora pro próximo!

Resposta

Demonstração

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Dar o domínio das seguintes funções vetoriais:vec g (x , y) = (1)/(x) vec i + x y vec j
Seja vec f (t) = sen t vec i + cos t vec j + 2 vec k e h (t) = (1)/(t) . Calcular:(a) underset(t - 0)(lim) [ vec f (t) ]
Seja vec f (t) = sen t vec i + cos t vec j + 2 vec k e h (t) = (1)/(t) . Calcular:(b) underset(t - 0)(lim) [ h (t) * vec f (t) ]
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(a) lim t → π ⁡ [ cos ⁡ t i → + t 2 j → - 5 k → ]
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(b) lim t → - 2 ⁡ t 3 + 4 t 2 + 4 t t + 2 t - 3i → + j →