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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.4 - Ex. 16

Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.

a t = 2 i + 6 t j + 12 t 2 k ,           v 0 = i ,           r 0 = j - k

Passo 1

Oie, vamos de mais uma resolução aqui.

Dada as seguintes equações de aceleração, velocidade e posição:

a t = 2 i + 6 t j + 12 t 2 k ,           v 0 = i ,           r 0 = j - k

Queremos encontrar as equações dos vetores velocidade e posição.

Quando temos a aceleração de um objeto do tipo:

a t = a x t i + a y t j + a z t k

A velocidade dessa partícula é:

v t = ∫ a x ( t ) d t   i + ∫ a y t d t   j + ∫ a z t d t   k

E a posição dela é:

r t = ∫ v x t d t   i + ∫ v y ( t ) d t   j + ∫ v z t d t   k

Sendo v x , v y , v z as componentes da velocidade. Resumindo, existe essa relação de integração entre a aceleração, velocidade e posição.

Passo 2

Queremos saber a velocidade e posição da seguinte partícula:

a t = 2 i + 6 t j + 12 t 2   k v 0 = i r 0 = j - k

Vamos descobrir a velocidade da partícula

v t = ∫ a x ( t ) d t   i + ∫ a y t d t   j + ∫ a z t d t   k

Nossa equação da aceleração é:

a t = 2 i + 6 t j + 12 t 2 k

Então nossa integral será:

v t = ∫ 2 d t   i + ∫ 6 t d t   j + ∫ 12 t 2 d t   k

Integrando:

v t = ( 2 t + C 1 ) i + ( 3 t 2 + C 2 ) j + ( 4 t 3 + C 3 ) k

Agora vamos calcular o valor das constantes de integração C 1 ,   C 2 e C 3 :

Como a gente sabe que:

v 0 = 1 i + 0 j + 0 k

Colocando t = 0 na equação que descobrimos e substituindo:

C 1 i + C 2 j + C 3 k = 1 i + 0 j + 0 k

C 1 = 1 ,     C 2 = 0 ,     C 3 = 0

Assim, a velocidade da partícula é:

v t = ( 2 t + 1 ) i + ( 3 t 2 ) j + ( 4 t 3 ) k

Passo 3

Vamos calcular agora a posição da partícula:

r t = ∫ v x t d t   i + ∫ v y ( t ) d t   j + ∫ v z t d t   k

A gente encontrou que:

v t = ( 2 t + 1 ) i + ( 3 t 2 ) j + ( 4 t 3 ) k

Integrando:

r t = ∫ ( 2 t + 1 ) d t   i + ∫ ( 3 t 2 ) d t   j + ∫ ( 4 t 3 ) d t   k

r t = t 2 + t + C 4   i + ( t 3 + C 5 )   j + ( t 4 + C 6 )   k

Agora vamos calcular o valor das constantes de integração C 4 , C 5 e C 6 :

O enunciado nos diz que:

r 0 = j - k

E encontramos que:

r t = t 2 + t + C 4   i + ( t 3 + C 5 )   j + ( t 4 + C 6 )   k

Igualando o que encontramos a o que nos foi dado em t = 0 :

C 4 i + C 5 j + C 6 k = j - k

C 4 = 0 ,     C 5 = 1 ,     C 6 = - 1

Assim a posição da partícula é:

r t = t 2 + t   i + ( t 3 + 1 )   j + ( t 4 - 1 )   k

Resposta

v t = ( 2 t + 1 ) i + ( 3 t 2 ) j + ( 4 t 3 ) k

r t = t 2 + t   i + ( t 3 + 1 )   j + ( t 4 - 1 )   k

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