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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 55

Escreva a equação (a) em coordenadas cilíndricas e (b) em coordenadas esféricas

x 2 + y 2 = 2 y

Passo 1

Para passarmos a equação da superfície para corrdenadas cilindricas utilizamos:

x = r cos ⁡ θ

y = r s e n   θ  

z = z

Para passarmos a equação da superfície para corrdenadas esféricas utilizamos:

x = ρ cos ⁡ θ s e n   ϕ

y = ρ s e n   θ   s e n   ϕ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Passo 2

(a) Substituindo x , y   e   z na equação retangular da superfície:

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = 2 r   s e n   θ  

r 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ = 2 r   s e n   θ

Então a equação em coordenadas cilíndricas é:

r = 2 s e n   θ

Passo 3

(b) Substituindo x , y   e   z na equação retangular da superfície:

ρ 2 cos ² ⁡ θ s e n 2 ϕ + ρ 2 s e n 2 θ   s e n 2 ϕ = 2 ρ   s e n   θ   s e n   ϕ

ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 2 ρ   s e n   θ   s e n   ϕ

Então a equação em coordenadas cilíndricas é:

ρ   s e n   ϕ = 2   s e n   θ

Resposta

a) r = 2 s e n   θ

b)   ρ   s e n   ϕ = 2   s e n   θ

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