Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.2 - Ex. 83

Escreva uma equação para a elipse transladada 4 unidades para a esquerda e 3 unidades para cima. Esboce a elipse e identifique seu centro e seu eixo principal.

Passo 1

Então galera, para iniciar a nossa resolução vamos começar nos atentando a alguns detalhes, beleza? O primeiro detalhe é que para uma elipse com centro a equação na forma padrão é dada por:

Assim como discutido na seção 1.2 do George, o gráfico dessa equação para apresenta eixo principal horizontal. Caso contrário, se , o gráfico dessa equação apresenta eixo principal vertical. Em ambos os casos, o eixo principal tem o maior comprimento.

Se escrevermos a equação que nos foi dada dessa forma, teremos:

Passo 2

Essas informações obtidas já seriam o suficiente para plotarmos o gráfico da elipse. Porém, a questão nos diz que a elipse foi transladada 4 unidades para a esquerda e 3 unidades para cima. Quando acontece esse tipo de translação, o formato da equação da elipse passa a ser o seguinte:

No qual agora o centro da elipse deixa de ser e passa a ser , tranquilo?

A primeira translação é feita para a esquerda, certo? Então é uma translação feita no eixo . A segunda translação é feita para cima, certo? Então é uma translação feita no eixo . Quando há uma soma diretamente nas variáveis, isso significa que o gráfico da função vai ser deslocado para a esquerda (eixo ) ou para baixo (eixo ). Quando há uma subtração diretamente nas variáveis, isso significa que o gráfico vai ser deslocado para a direita (eixo ) ou para cima (eixo ).

Como no nosso caso houve uma translação para a esquerda e outra para cima, utilizando o raciocínio acima, teremos a equação nesse formato aqui ó:

Passo 3

Agora que temos, de fato, todas as informações para plotarmos o gráfico da elipse, fazendo as translações devidas, o gráfico vai ficar desse jeito, galera:

No qual o centro é em e o eixo principal é uma reta que liga os extremos que apresentam maior raio, que nesse caso seria o segmento até . O segmento seria esse aqui: