Seja a região limitada por um caminho fechado simples no plano Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide de são

onde é a área de .

O centroide nada mais é do que o centro de massa de uma região onde a função densidade é

então temos

Onde temos que

Substituindo a função densidade:

Com a integral dupla de é a própria área:

Agora, lidando com a integral do momento em , substituímos a densidade novamente:

O teorema de Green traz que:

Igualando as integrais duplas:

Então vemos que o integrando das integrais devem ser iguais:

Podemos escolher qualquer função que satisfaça a condição, se usarmos

Integrando dos dois lados:

Como a integral da derivada é a função original, temos:

Substituindo e na integral de linha. A solução mais simples é quando , já que é uma constante que pode assumir qualquer valor. Assim temos que uma das possíveis soluções é

Substituindo em

Ficamos com:

Tirando a constante para fora, temos finalmente:

Pronto! Chegamos na integral de linha que o enunciado pediu!

Usando o mesmo raciocínio para :

Já podemos estender o resultado da integral de para :

Para transformar em uma integral de linha:

Se

Para descobrirmos a função , integramos dos dois lados:

Como a integral da derivada é a função original:

Multiplicando a equação por :

Substituindo temos

Tirando a constante para fora, chegamos exatamente na equação que o enunciado pediu!