Uma lâmina plana com densidade constante ρ(x, y) = ρ ocupa uma região do plano x y limitada por um caminho fechado simples C . Mostre que seus momentos de inércia em relação aos eixos são

I_x = - (ρ / 3) ∮_C y^3 dx I_y = (ρ / 3) ∮_C x^3 dy

Passo 1

E aí, pessoal! Como vocês estão?

Nossa questão pede para mostrarmos que os momentos de inércia de uma lâmina com densidade constante ρ x ,   y = ρ são:

I x = - ρ 3 ∮ C y 3   d x                     I y = ρ 3 ∮ C x 3   d y

Na seção de aplicação das integrais duplas é dado que

I x = ∬ D y 2 ρ x , y   d A                     I y = ∬ D x 2 ρ x , y   d A

Ou seja, temos os momentos de inercia em forma de integral dupla e agora queremos em forma de integral de linha. Essa relação a gente tem pelo Teorema de Green:

∫ C P   d x + Q   d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Então nossa estratégia é usarmos o Teorema de Green para sairmos da integral dupla e chegarmos na integral de linha.

Vamos lá!

Passo 2

Como ρ x ,   y = ρ é constante, substituímos nas integrais duplas:

I x = ρ ∬ D y 2   d A                     I y = ρ ∬ D x 2   d A

Então vamos transformar essa integral em uma integral de linha pelo Teorema de Green, focando no momento em x primeiro:

I x = ρ ∬ D y 2   d A

Para usar o teorema, precisamos de duas funções P e Q que satisfaçam

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = y 2

Como só temos um termo do lado direito da equação, vamos assumir que um dos termos P e Q é zero! Se usarmos Q = 0

- ∂ P ∂ y = y 2

Integrando em relação a y :

- ∫ ∂ P ∂ y   d y = ∫ y 2   d y

Como a integral da derivada retorna à função original:

- P = y 3 3 + C

Podemos pegar a função mais simples que é quando C = 0 então

P = - y 3 3

E temos que

I x = ρ ∬ D y 2   d A = ρ ∮ C - y 3 3   d x

Tirando a constante para fora:

I x = - ρ 3 ∮ C y 3   d x

Onde C é fronteira de D orientada positivamente.

Passo 3

Seguindo o mesmo raciocínio para y .

I y = ρ ∬ D x 2   d A

Para usar o teorema, precisamos de duas funções P e Q que satisfaçam

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = x 2

Como só temos um termo do lado direito da equação, vamos assumir que um dos termos P e Q é zero! Se P = 0

∂ Q ∂ x = x 2

Integrando dos dois lados:

∫ ∂ Q ��� x d x = ∫ x 2   d x

Como a integral da derivada retorna à função original:

Q = x 3 3 + C

Podemos pegar a função mais simples que é quando C = 0 então

Q = x 3 3

E temos

I y = ρ ∬ D x 2   d A = ρ ∮ C x 3 3   d y

Tirando a constante 1 / 3 para fora:

I y = ρ 3 ∮ C x 3   d y

Prontinho!

Resposta

Equações demonstradas!

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