Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 25
Uma lâmina plana com densidade constante ocupa uma região do plano limitada por um caminho fechado simples . Mostre que seus momentos de inércia em relação aos eixos são
Passo 1
E aí, pessoal! Como vocês estão?
Nossa questão pede para mostrarmos que os momentos de inércia de uma lâmina com densidade constante são:
Na seção de aplicação das integrais duplas é dado que
Ou seja, temos os momentos de inercia em forma de integral dupla e agora queremos em forma de integral de linha. Essa relação a gente tem pelo Teorema de Green:
Então nossa estratégia é usarmos o Teorema de Green para sairmos da integral dupla e chegarmos na integral de linha.
Vamos lá!
Passo 2
Como é constante, substituímos nas integrais duplas:
Então vamos transformar essa integral em uma integral de linha pelo Teorema de Green, focando no momento em primeiro:
Para usar o teorema, precisamos de duas funções e que satisfaçam
Como só temos um termo do lado direito da equação, vamos assumir que um dos termos e é zero! Se usarmos
Integrando em relação a :
Como a integral da derivada retorna à função original:
Podemos pegar a função mais simples que é quando então
E temos que
Tirando a constante para fora:
Onde é fronteira de orientada positivamente.
Passo 3
Seguindo o mesmo raciocínio para .
Para usar o teorema, precisamos de duas funções e que satisfaçam
Como só temos um termo do lado direito da equação, vamos assumir que um dos termos e é zero! Se
Integrando dos dois lados:
Como a integral da derivada retorna à função original:
Podemos pegar a função mais simples que é quando então
E temos
Tirando a constante para fora:
Prontinho!
Resposta
Equações demonstradas!