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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 7

7 – 46 Encontre a derivada da função.

7. F (x) = (5 x^6 + 2 x^3)^4

Passo 1

Aqui meu amigo, devemos utilizar da regra da cadeia para derivarmos essa função.

Utilizamos a regra da cadeia em situações em que temos uma composição de funções.

A regra da cadeia é posta em pratica assim:

Se y = f ( g (x) ) e u = g ( x ) , então y = f ( u ) e

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Passo 2

A função interna é a seguinte:

u = g (x)

u = 5 x^6 + 2 x^3

E a externa é:

f (u) = u^4

A derivada de uma função composta:

f (g (x))

onde

g (x) = u

vai ser igual a

F^' (x) = (d)/(d u) (f (u)) * (d)/(d x) (g (x))

Então a derivada da nossa função fica

F^' (x) = (d)/(d u) (u^4) * (d)/(d x) (5 x^6 + 2 x^3)

As duas derivadas são de polinômios:

F^' (x) = (4 u^3) * (30 x^5 + 6 x^2)

Como

u = g (x) = 5 x^6 + 2 x^3

então a derivada é igual a

F^' (x) = (4 ( 5 x^6 + 2 x^3 )^3) * (30 x^5 + 6 x^2)

Resposta

F^' (x) = (4 ( 5 x^6 + 2 x^3 )^3) * (30 x^5 + 6 x^2)

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