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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 25c

Escreva a função comprimento de arco de:

c) vec r (t) = (t , t^2)

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular a função comprimento de arco da curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l (t) = int_0^t |vec r^' (t)| d t

Passo 2

Incialmente, vamos encontrar vec r^' (t) . Vem comigo!

vec r (t) = (t , t^2)

Derivando,

vec r^' (t) = (1 , 2 t)

Passo 3

Agora que já encontramos vec r^' (t) , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

|vec r^' (t)| = sqrt((1)^2 + (2 t)^2)

Assim,

|vec r^' (t)| = sqrt(1 + 4 t^2)

Para calcularmos esse integral, temos que fazer uma substituição. Então vem comigo!

2 t = t g (u)

Derivando,

2 d t = sec^2 (u) d u -> d t = (sec^2 (u) d u)/(2)

Opa, mas como fizemos uma substituição temos que mudar os limites de integração

Para t = 0 :

t g (u) = 0 -> u = 0

Para t = pi :

t g (u) = t -> u = a r c t g (t)

Então nossa integral fica o seguinte:

l = int_0^(a r c t g (t)) sqrt(1 + t g^2 (u)) (sec^2 (u) d u)/(2)

Como 1 + t g^2 (u) = sec^2 (u) :

l = int_0^(a r c t g (t)) sec (u) xx (sec^2 (u) d u)/(2)

Portanto,

l = (1)/(2) int_0^(a r c t g (t)) sec^3 (u) d u

Passo 4

l = (1)/(2) int_0^(a r c t g (t)) sec^3 (u) d u

Para começar, vamos escrever da seguinte forma:

l = (1)/(2) int_0^(a r c t g (t)) sec^2 (u) sec (u) d u

Como 1 + t g^2 (u) = sec^2 (u) :

l = (1)/(2) int_0^(a r c t g (t)) (1 + t g^2 (u)) sec (u) d u

Assim,

l = (1)/(2) int_0^(a r c t g (t)) (sec (u) + t g^2 (u) sec (u)) d u

Separando em dois termos:

l = (1)/(2) int_0^(a r c t g (t)) sec (u) d u + (1)/(2) int_0^(a r c t g (t)) t g^2 (u) sec (u) d u

Não esquece: int sec (x) d x = l n | s e c (x) + t g ( x ) | + c

Logo,

l = (1)/(2) [l n |s e c (x) + t g (x)|]_0^(a r c t g (t)) + (1)/(2) int_0^(a r c t g (t)) t g^2 (u) sec (u) d u (i)

Passo 5

Para terminarmos, basta calcularmos o segundo termo:

I = (1)/(2) int_0^(a r c t g (t)) t g^2 (u) sec (u) d u

Reescrevendo a integral:

I = (1)/(2) int_0^(a r c t g (t)) t g (u) xx sec (u) t g (u) d u

Agora vamos usar integração por partes!

int_0^(a r c t g (t)) f d g = [f g]_0^(a r c t g (t)) - int_0^(a r c t g (t)) g d f (i i)

Analisando a integral:

d g = sec (u) t g (u) -> g = sec (u)

f = t g (u) -> d f = sec^2 (u) d u

Usando a relação (i i) :

int_0^(a r c t g (t)) t g^2 (u) sec (u) d u = [t g (u) sec (u)]_0^(a r c t g (t)) - int_0^(a r c t g (t)) sec (u) xx sec^2 (u) d u

Portanto,

int_0^(a r c t g (t)) t g^2 (u) sec (u) d u = [t g (u) sec (u)]_0^(a r c t g (t)) - int_0^(a r c t g (t)) sec^3 (u) d u

Opa, mas int_0^(a r c t g (t)) sec^3 (u) d u = 2 l . Logo,

int_0^(a r c t g (t)) t g^2 (u) sec (u) d u = [t g (u) sec (u)]_0^(a r c t g (t)) - 2 l

Passo 6

Voltando para (i) :

l = (1)/(2) [l n |s e c (x) + t g (x)|]_0^(a r c t g (t)) + (1)/(2) [t g (u) sec (u)]_0^(a r c t g (t)) - l

Assim,

l = (1)/(4) [l n |s e c (x) + t g (x)|]_0^(a r c t g (t)) + (1)/(4) [t g (u) sec (u)]_0^(a r c t g (t))

O primeiro termo fica o seguinte:

(1)/(2) [l n |s e c (x) + t g (x)|]_0^(a r c t g (t)) = (1)/(2) [(l n |s e c (a r c t g (t)) + t g (a r c t g (t))|) - (l n |s e c (0) + t g (0)|)]

Fazendo as contas:

(1)/(2) [l n |s e c (x) + t g (x)|]_0^(a r c t g (t)) = (1)/(2) ln (t + sqrt(t^2 + 1))

Já o segundo:

(1)/(2) [t g (u) sec (u)]_0^(a r c t g (t)) = (1)/(2) [(t g (a r c t g (t)) sec (a r c t g (t))) - (t g (0) sec (0))]

Fazendo as contas:

(1)/(2) [t g (u) sec (u)]_0^(a r c t g (t)) = (1)/(2) (t sqrt(t^2 + 1))

Portanto, o termo l fica o seguinte:

l (t) = (1)/(2) ln (t + sqrt(t^2 + 1)) + (1)/(2) (t sqrt(t^2 + 1))

Resposta

l (t) = (1)/(2) ln (t + sqrt(t^2 + 1)) + (1)/(2) (t sqrt(t^2 + 1))

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