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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 27h

Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:

h → s = s 2 , s 2 ,   s ≥ 0

Passo 1

Pra verificar se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, a gente só tem um trabalho: vamos derivar a parametrização da curva e calcular o módulo dessa derivada. Se o módulo for igual a 1 , podemos dizer que sim, ela está parametrizada pelo comprimento de arco! Então é isso que vamos fazer.

Passo 2

A nossa função h → ( s ) é:

h → s = s 2 , s 2

Derivando,

h ' → s = 1 2 , 1 2

Passo 3

Prontinho, temos a função derivada. Agora vamos ver se o módulo dessa derivada é unitário:

h ' → s 2 = 1 2 2 + 1 2 2

Desenvolvendo,

h ' → s 2 = 1 2 + 1 2  

h ' → s 2 = 1

E então,

h ' → s = 1

Beleza, como o módulo é unitário, então essa função está parametrizada pelo comprimento de arco!

Resposta

Está parametrizada pelo comprimento de arco.

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1. Calcule o comprimento da curva dada:c) γ t = cos ⁡ t ,s e n t ,e - t ,t ∈ 0 ,π
Calcule o comprimento da curva x = e t + e - t , y = 5 - 2 t ,0 ≤ t ≤ 3
Calcule o comprimento da curva x = acos ⁡ θ + θs e nθ , y = as e nθ - θ cos ⁡ θ ,0 ≤ θ ≤ π
Calcule o comprimento da curva. x = e t + e - t ,y = 5 - 2 t , 0 ≤ t ≤ 3
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:f) hélice circular r → t = 2 cos ⁡ t ,4 t ,2 s e n ( t ) de P 0 2,0 , 0 a P 1 0 ,2 π , 2