Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:

h(s) = (s/raiz(2), s/raiz(2)), s >= 0

Passo 1

Pra verificar se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, a gente só tem um trabalho: vamos derivar a parametrização da curva e calcular o módulo dessa derivada. Se o módulo for igual a 1 , podemos dizer que sim, ela está parametrizada pelo comprimento de arco! Então é isso que vamos fazer.

Passo 2

A nossa função h → ( s ) é:

h → s = s 2 , s 2

Derivando,

h ' → s = 1 2 , 1 2

Passo 3

Prontinho, temos a função derivada. Agora vamos ver se o módulo dessa derivada é unitário:

h ' → s 2 = 1 2 2 + 1 2 2

Desenvolvendo,

h ' → s 2 = 1 2 + 1 2  

h ' → s 2 = 1

E então,

h ' → s = 1

Beleza, como o módulo é unitário, então essa função está parametrizada pelo comprimento de arco!

Resposta

Está parametrizada pelo comprimento de arco.

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