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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 2

Seja f : R -> R derivável e seja g (t) = f (t^2 + 1) . Supondo f^' (2) = 5 , calcule g^' (1) .

Passo 1

Primeiro vamos calcular a derivada de g^' (t) , vamos analisar a função, temos um polinômio dentro de uma função, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

g^' (t) = (d y)/(d t) = f^' (h (t)) * h^' (t)

Passo 2

Temos que h (t) é a função mais de dentro e y = f (t) a função mais de fora:

h (t) = t^2 + 1

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função constante e do polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

(c)^' = 0

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Agora é só aplicar, vamos lá?

g^' (t) = (d y)/(d t) = f^' (h (t)) * h^' (t) = f^' (t^2 + 1) * (t^2 + 1)^' = f^' (t^2 + 1) * (2 t^(2 - 1) + 0) = f^' (t^2 + 1) * (2 t)

Passo 4

Vamos agora calcular g^' (1) :

g^' (1) = f^' (1^2 + 1) * (2 * 1) = f^' (2) * 2

Pronto, temos no enunciado o valor de f^' (2) , então é só substituir e temos a resposta:

g^' (1) = f^' (2) * 2 = 5 * 2 = 10

Resposta

g^' (1) = 10

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