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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4c

Derive.

y = e^(- x) sen x

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = e^(- x)

e

g (x) = sen x

(e^(- x) sen x)^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (e^(- x))^' * (sen x) + (sen x)^' * (e^(- x))

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ' ( x )

(sen (x))^' = cos (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Para calculcar f^' (x) vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( x ) = (e^(- x))^' = e^(- x) * (- x)^' = e^(- x) * (- x^(1 - 1)) = e^(- x) * (- x^0) = e^(- x) * (- 1) = - e^(- x)

Com g ' ( x ) usamos a regra da função trigonométrica:

g^' (x) = (sen x)^' = cos x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = (e^(- x) sen x)^' = (e^(- x))^' * (sen x) + (sen x)^' * (e^(- x)) = (- e^(- x)) * (sen x) + cos x * (e^(- x)) = e^(- x) (- sen x + cos x)

Resposta

y ' = e^(- x) (- sen x + cos x)

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