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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4h

Derive.

f (x) = (e^(- x) + e^(x^2))^3

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = e^(- x) + e^(x^2)

f (u) = u^3

Assim temos então que:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g^' (x) = (u^3)^' * (e^(- x) + e^(x^2))^'

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (g (x)) :

f^' (g (x)) = (u^3)^' = 3 u^(3 - 1) = 3 u^2

Agora para g^' (x) :

g^' (x) = (e^(- x) + e^(x^2))^' = (e^(- x))^' + (e^(x^2)) = e^(- x) * (- x)^' + e^(x^2) * (x^2)^' = e^(- x) * (- x^(1 - 1)) + e^(x^2) * 2 x^(2 - 1) = e^(- x) * (- x^0) + e^(x^2) * 2 x = e^(- x) * (- 1) + 2 x e^(x^2) = - e^(- x) + 2 x e^(x^2)

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f^' (x) = (u^3)^' * (e^(- x) + e^(x^2))^' = 3 u^2 * (- e^(- x) + 2 x e^(x^2))

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

f^' (x) = 3 u^2 * (- e^(- x) + 2 x e^(x^2)) = 3 (e^(- x) + e^(x^2))^2 * (- e^(- x) + 2 x e^(x^2))

Resposta

f^' (x) = 3 (e^(- x) + e^(x^2))^2 * (- e^(- x) + 2 x e^(x^2))

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