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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4j

Derive.

g (x) = e^(x^2) ln (1 + sqrt(x))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = e^(x^2)

e

g (x) = ln (1 + sqrt(x))

(e^(x^2) ln (1 + sqrt(x)))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (e^(x^2))^' * (ln (1 + sqrt(x))) + (ln (1 + sqrt(x)))^' * (e^(x^2))

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função logarítmica natural, do polinômio e da função constante, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ' ( x )

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Para calculcar f^' (x) vamos usar a regra da função exponencial, da função constante e do polinômio:

f ' ( x ) = (e^(x^2))^' = e^(x^2) * (x^2)^' = e^(x^2) * (2 x^(2 - 1)) = e^(x^2) * (2 x) = 2 x e^(x^2)

Com g ' ( x ) usamos a regra da função logarítmica natural, da função constante e a do polinômio:

g^' (x) = (ln (1 + sqrt(x)))^' = (1)/(1 + sqrt(x)) * (1 + x^((1)/(2)))^' = (1)/(1 + sqrt(x)) * (0 + (1)/(2) x^((1)/(2) - 1)) = (1)/(1 + sqrt(x)) * ((1)/(2) x^(- (1)/(2))) = (1)/(1 + sqrt(x)) * ((1)/(2 sqrt(x))) = (1)/(2 sqrt(x) + 2 x)

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = (e^(x^2) ln (1 + sqrt(x)))^' = (e^(x^2))^' * (ln (1 + sqrt(x))) + (ln (1 + sqrt(x)))^' * (e^(x^2)) = 2 x e^(x^2) * (ln (1 + sqrt(x))) + ((1)/(2 sqrt(x) + 2 x)) * (e^(x^2)) = e^(x^2) (2 x ln (1 + sqrt(x)) + (1)/(2 sqrt(x) + 2 x))

Resposta

y ' = e^(x^2) (2 x ln (1 + sqrt(x)) + (1)/(2 sqrt(x) + 2 x))

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