Derive.

g(x) = e^(x^2) \* ln(1 + raiz(x))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = e x 2

e

g x = ln ⁡ 1 + x

e x 2 ln ⁡ 1 + x ' = f ' x g x + g ' x f x = e x 2 ' ⋅ ln ⁡ 1 + x + ln ⁡ 1 + x ' ⋅ e x 2

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função logarítmica natural, do polinômio e da função constante, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

e f x ' = e f x ⋅ f ' ( x )

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Para calculcar f ' x vamos usar a regra da função exponencial, da função constante e do polinômio:

f ' ( x ) = e x 2 ' = e x 2 ⋅ x 2 ' = e x 2 ⋅ 2 x 2 - 1 = e x 2 ⋅ 2 x = 2 x e x 2

Com g ' ( x ) usamos a regra da função logarítmica natural, da função constante e a do polinômio:

g ' x = ln ⁡ 1 + x ' = 1 1 + x ⋅ 1 + x 1 2 ' = 1 1 + x ⋅ 0 + 1 2 x 1 2 - 1   = 1 1 + x ⋅ 1 2 x - 1 2   = 1 1 + x ⋅ 1 2 x   = 1 2 x + 2 x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = e x 2 ln ⁡ 1 + x ' = e x 2 ' ⋅ ln ⁡ 1 + x + ln ⁡ 1 + x ' ⋅ e x 2 = 2 x e x 2 ⋅ ln ⁡ 1 + x + 1 2 x + 2 x ⋅ e x 2 = e x 2 2 x ln ⁡ 1 + x + 1 2 x + 2 x

Resposta

y ' = e x 2 2 x ln ⁡ 1 + x + 1 2 x + 2 x

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