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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5p

Calcule a derivada segunda.

y = sen (cos x)

Passo 1

Vamos analisar a função, ela é uma função trigonométrica, vamos ter então que usar a fórmula da função trigonométrica, além da regra da cadeia para achar y^' :

(sen (x))^' = cos (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (sen (cos x))^' = cos (cos x) * (cos x)^' = cos (cos x) * (- sen x) = - sen x cos (cos x)

Passo 2

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, porém vamos usar mais uma, a regra do produto, derivando agora y^' :

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = - sen x

e

g (x) = cos (cos x)

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = (- sen x cos (cos x)) = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (- sen x)^' (cos (cos x)) + (cos (cos x))^' (- sen x) = - cos x (cos (cos x)) + (- sen (cos x) * (cos x)^') (- sen x) = - cos x cos (cos x) + (- sen (cos x) * (- sen x)) (- sen x) = - cos x cos (cos x) - sen^2 x sen (cos x)

Resposta

y^(' ') = - cos x cos (cos x) - sen^2 x sen (cos x)

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