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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5j

Calcule a derivada segunda.

y = e^(- x) cos 2 x

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio, da regra da função exponencial e da função trigonométrica, além da regra da cadeia para achar y^' :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(sen (x))^' = cos (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = e^(- x)

e

g (x) = cos 2 x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (e^(- x) cos 2 x)^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (e^(- x))^' (cos 2 x) + (cos 2 x)^' (e^(- x)) = e^(- x) (- x)^' (cos 2 x) + (- sen 2 x) (2 x)^' (e^(- x)) = e^(- x) (- x^(1 - 1)) (cos 2 x) + (- sen 2 x) (2 x^(1 - 1)) (e^(- x)) = e^(- x) cos 2 x (- x^0) - e^(- x) sen 2 x (2 x^0) = e^(- x) cos 2 x (- 1) - e^(- x) sen 2 x (2 * 1) = - e^(- x) cos 2 x - 2 e^(- x) sen 2 x = - e^(- x) (cos 2 x + 2 sen 2 x)

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y^' :

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = - e^(- x)

e

g (x) = (cos 2 x + 2 sen 2 x)

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = (- e^(- x) (cos 2 x + 2 sen 2 x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (- e^(- x))^' (cos 2 x + 2 sen 2 x) + (cos 2 x + 2 sen 2 x)^' (- e^(- x)) = - e^(- x) (- x)^' (cos 2 x + 2 sen 2 x) + (- sen 2 x (2 x)^' + 2 cos 2 x (2 x)^') (- e^(- x)) = - e^(- x) (- x^(1 - 1)) (cos 2 x + 2 sen 2 x) + (- sen 2 x (2 x^(1 - 1)) + 2 cos 2 x (2 x^(1 - 1))) (- e^(- x)) = - e^(- x) (- x^0) (cos 2 x + 2 sen 2 x) + (- sen 2 x (2 * 1) + 2 cos 2 x (2 * 1)) (- e^(- x)) = - e^(- x) (- 1) (cos 2 x + 2 sen 2 x) + (- 2 sen 2 x + 4 cos 2 x) (- e^(- x)) = e^(- x) (cos 2 x + 2 sen 2 x) + (- 2 sen 2 x + 4 cos 2 x) (- e^(- x)) = e^(- x) (cos 2 x + 2 sen 2 x + 2 sen 2 x - 4 cos 2 x) = e^(- x) (- 3 cos 2 x + 4 sen 2 x)

Resposta

y^(' ') = e^(- x) (- 3 cos 2 x + 4 sen 2 x)

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