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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4u

Derive.

f (t) = (t e^(2 t))/(ln (3 t + 1))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f^' (t) = (g^' (t) h (t) - g (t) h ' (t))/([h (t)]^2)

Onde:

g (t) = t e^(2 t)

e

h (t) = ln (3 t + 1)

Assim temos então que:

((t e^(2 t))/(ln (3 t + 1)))^' = (g^' (t) h (t) - g (t) h ' (t))/([h (t)]^2) = ((t e^(2 t))^' (ln (3 t + 1)) - (t e^(2 t)) (ln (3 t + 1))^')/([ln (3 t + 1)]^2)

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial, da função constante, função logarítmica natural e do polinômio, além da regra da cadeia:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(c)^' = 0

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Primeiro vamos calcular g^' (t) , vamos ter que usar a regra do produto:

(r (t) s (t))^' = r ' (t) s (t) + s ' (t) r (t)

Com:

r (t) = t

s (t) = e^(2 t)

Vamos calcular:

g^' (t) = (t e^(2 t))^' = r^' (t) s (t) + s^' (t) r (t)

g^' (t) = (t)^' (e^(2 t)) + (e^(2 t))^' (t) = t^(1 - 1) * (e^(2 t)) + e^(2 t) * (2 t)^' * (t)

g^' (t) = t^0 * (e^(2 t)) + e^(2 t) * 2 t^(1 - 1) * (t) = 1 * (e^(2 t)) + e^(2 t) * 2 t^0 * (t)

g^' (t) = e^(2 t) + e^(2 t) * 2 * 1 * (t) = e^(2 t) + 2 t e^(2 t)

g^' (t) = e^(2 t) (1 + 2 t)

Agora para h^' (t) :

h^' (t) = (ln (3 t + 1))^' = (1)/(3 t + 1) * (3 t + 1)^' = (1)/(3 t + 1) * (3 t^(1 - 1) + 0) = (1)/(3 t + 1) * (3 t^0) = (1)/(3 t + 1) * (3 * 1) = (3)/(3 t + 1)

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f^' (t) = ((t e^(2 t))/(ln (3 t + 1)))^' = ((t e^(2 t))^' (ln (3 t + 1)) - (t e^(2 t)) (ln (3 t + 1))^')/([ln (3 t + 1)]^2) = (e^(2 t) (1 + 2 t) (ln (3 t + 1)) - (t e^(2 t)) * (3)/(3 t + 1))/(ln^2 (3 t + 1)) = (e^(2 t) (1 + 2 t) (ln (3 t + 1)) - (3 t e^(2 t))/(3 t + 1))/(ln^2 (3 t + 1))

Resposta

f^' (t) = (e^(2 t) (1 + 2 t) (ln (3 t + 1)) - (3 t e^(2 t))/(3 t + 1))/(ln^2 (3 t + 1))

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