Derive.

y = raiz(e^x + e^(-x))

Passo 1

Primeiro vamos manipular um pouco a expressão:

y = e x + e - x = e x + e - x 1 2

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = e x + e - x

f u = u 1 2

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = u 1 2 ' ⋅ e x + e - x '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = u 1 2 ' = 1 2 u 1 2 - 1 = 1 2 u - 1 2 = 1 2 u

Agora para g ' x :

g ' x = e x + e - x ' = e x ' + e - x = e x ⋅ x ' + e - x ⋅ - x ' = e x ⋅ x 1 - 1 + e - x ⋅ - x 1 - 1 = e x ⋅ x 0 + e - x ⋅ - x 0 = e x ⋅ 1 + e - x ⋅ - 1 = e x - e - x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = u 1 2 ' ⋅ e x + e - x ' = 1 2 u ⋅ e x - e - x

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y ' = 1 2 u ⋅ e x - e - x = 1 2 e x + e - x ⋅ e x - e - x = e x - e - x 2 e x + e - x

Resposta

y ' = e x - e - x 2 e x + e - x

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