Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4m

Derive.

y = sqrt(e^x + e^(- x))

Passo 1

Primeiro vamos manipular um pouco a expressão:

y = sqrt(e^x + e^(- x)) = (e^x + e^(- x))^((1)/(2))

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = e^x + e^(- x)

f (u) = u^((1)/(2))

Assim temos então que:

y^' = f^' (g (x)) * g^' (x) = (u^((1)/(2)))^' * (e^x + e^(- x))^'

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (g (x)) :

f^' (g (x)) = (u^((1)/(2)))^' = (1)/(2) u^((1)/(2) - 1) = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(u))

Agora para g^' (x) :

g^' (x) = (e^x + e^(- x))^' = (e^x)^' + (e^(- x)) = e^x * (x)^' + e^(- x) * (- x)^' = e^x * (x^(1 - 1)) + e^(- x) * (- x^(1 - 1)) = e^x * (x^0) + e^(- x) * (- x^0) = e^x * (1) + e^(- x) * (- 1) = e^x - e^(- x)

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = (u^((1)/(2)))^' * (e^x + e^(- x))^' = (1)/(2 sqrt(u)) * (e^x - e^(- x))

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y^' = (1)/(2 sqrt(u)) * (e^x - e^(- x)) = (1)/(2 sqrt(e^x + e^(- x))) * (e^x - e^(- x)) = (e^x - e^(- x))/(2 sqrt(e^x + e^(- x)))

Resposta

y^' = (e^x - e^(- x))/(2 sqrt(e^x + e^(- x)))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) . 64. y = (1)/(6) . (1 + c o s^2 (7 t)) ³ ³
Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) . 62. y = cos ( 5 s e n ((t)/(3)) )
Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) . 68. y = c o s^4 ( s e c^2 (3 t) )
Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) . 54. y = ( 1 + c o t g ((t)/(2)) )^(- 2)
Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) . 60. y = ( (3 t - 4)/(5 t + 2) )^(- 5)