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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5u

Calcule a derivada segunda.

y = x root(3)(x + 2)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y^' :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = x

e

g (x) = root(3)(x + 2)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (x root(3)(x + 2))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (x)^' (root(3)(x + 2)) + (root(3)(x + 2))^' (x) = (x^(1 - 1)) (root(3)(x + 2)) + ((x + 2)^((1)/(3)))^' (x) = (x^0) (root(3)(x + 2)) + x ((1)/(3) (x + 2)^((1)/(3) - 1) (x + 2)^') = (1) (root(3)(x + 2)) + x ((1)/(3) (x + 2)^(- (2)/(3)) (x^(1 - 1) + 0)) = root(3)(x + 2) + x ((1)/(3 (x + 2)^((2)/(3))) (x^0)) = root(3)(x + 2) + x ((1)/(3 (x + 2)^((2)/(3))) (1)) = root(3)(x + 2) + (x)/(3 (x + 2)^((2)/(3))) = (3 (x + 2)^((2)/(3)) (x + 2)^((1)/(3)) + x)/(3 (x + 2)^((2)/(3))) = (3 (x + 2)^((2)/(3) + (1)/(3)) + x)/(3 (x + 2)^((2)/(3))) = (3 (x + 2)^((3)/(3)) + x)/(3 (x + 2)^((2)/(3))) = (3 x + 6 + x)/(3 (x + 2)^((2)/(3))) = (4 x + 6)/(3 (x + 2)^((2)/(3)))

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y^' :

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = 4 x + 6

e

g (x) = 3 (x + 2)^((2)/(3))

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = ((4 x + 6)/(3 (x + 2)^((2)/(3))))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((4 x + 6)^' (3 (x + 2)^((2)/(3))) - (4 x + 6) (3 (x + 2)^((2)/(3)))^')/((3 (x + 2)^((2)/(3)))^2) = ((4 x^(1 - 1) + 0) (3 (x + 2)^((2)/(3))) - (4 x + 6) ((2)/(3) * 3 (x + 2)^((2)/(3) - 1) (x + 2)^'))/(9 (x + 2)^((4)/(3))) = ((4 * 1) (3 (x + 2)^((2)/(3))) - (4 x + 6) (2 (x + 2)^(- (1)/(3)) (x^(1 - 1) + 0)))/(9 (x + 2)^((4)/(3))) = ((4) (3 (x + 2)^((2)/(3))) - (4 x + 6) (2 (x + 2)^(- (1)/(3)) (1)))/(9 (x + 2)^((4)/(3))) = (12 (x + 2)^((2)/(3)) + (- 8 x - 12)/((x + 2)^((1)/(3))))/(9 (x + 2)^((4)/(3))) = ((12 (x + 2)^((2)/(3)) (x + 2)^((1)/(3)) - 8 x - 12)/((x + 2)^((1)/(3))))/(9 (x + 2)^((4)/(3))) = (12 (x + 2)^((2)/(3)) (x + 2)^((1)/(3)) - 8 x - 12)/((x + 2)^((1)/(3))) * ((1)/(9 (x + 2)^((4)/(3)))) = (12 (x + 2)^((2)/(3) + (1)/(3)) - 8 x - 12)/(9 (x + 2)^((1)/(3)) (x + 2)^((4)/(3))) = (12 (x + 2)^((3)/(3)) - 8 x - 12)/(9 (x + 2)^((1)/(3) + (4)/(3))) = (12 x + 24 - 8 x - 12)/(9 (x + 2)^((5)/(3))) = (4 x + 12)/(9 (x + 2)^((5)/(3)))

Resposta

y^(' ') = (4 x + 12)/(9 (x + 2)^((5)/(3)))

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