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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 60

Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais.

x = t 2 - t 3 ,   y = t + t 4 ;     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala galerinha. De boa?

Nosso objetivo é calcular a área da superfície pela rotação do eixo x . A curva é definida pelas funções x = t 2 - t 3 ,   y = t + t 4 , onde o parâmetro t varia de 0 a 1 .

E como podemos resolver?

  1. Identificando as funções paramétricas.
  2. Derivar as funções x e y , em função de t .
  3. Usar a fórmula da área da superfície

    4. A = ∫ a b 2 π y ( t ) d x d t 2 + d y d t 2 d t

  4. Simplificamos a expressão resolvendo a integral.

Seguindo esses passos conseguimos a respostas!

Passo 2

Vamos começar entendendo nossas funções

A curva é definida pelas funções:

x = t 2 - t 3

y = t + t 4

E o intervalo do parâmetro é 0 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Vamos lembrar que nosso objetivo é calcular o comprimento do arco e para isso precisamos obter as derivadas d x d t e d y d t

Para d x d t

d d t t 2 - t 3

Derivando, temos

d x d t = 2 t - 3 t 2

Para d y d t

d d t ( t + t 4 )

d y d t = 1 + 4 t 3

Passo 4

Podemos então aplicar as derivadas na equação do comprimento do arco

A = ∫ a b 2 π y ( t ) d x d t 2 + d y d t 2 d t

Para facilitar a resolução da questão, primeiro iremos resolver dentro da raiz quadrada.

d x d t 2 + d y d t 2

Como d x d t = 2 t - 3 t ² e d y d t = 1 + 4 t ³ , temos

d x d t 2 + d y d t 2 = 2 t - 3 t 2 2 + 1 + 4 t 3 2

d x d t 2 + d y d t 2 = 4 t 2 - 12 t 3 + 9 t 4 + 1 + 8 t 3 + 16 t 6

Passo 5

Escrevendo uma integral para a área de superfície, temos que:

S = ∫ 2 π y   d s

Onde d s = 4 t 2 - 12 t 3 + 9 t 4 + 1 + 8 t 3 + 16 t 6

Substituindo os termos, e o intervalo de   0 ≤ t ≤ 1 , nossa integral de superfície será:

S = ∫ 0 1 2 π t + t 4 4 t 2 - 12 t 3 + 9 t 4 + 1 + 8 t 3 + 16 t 6   d t

S ≈ 12,7176

Resposta

≈ 12,7176

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Calcule a área limitada pela curva x = t - (1)/(t) , y = t + (1)/(t) e a reta y = 2,5 .
Enocontre a área limitada pela curva x = cos ⁡ t e y = e t , 0 ≤ t ≤ π / 2 e as retas y = 1 e x = 0 .
Use um gráfico para estimar os valores de θ para os quais as curvas r = 3 + s e n5 θ e r = 6s e nθ se interceptam. Então estime a área que está dentro de ambas as curvas.
Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 1 + cos ⁡ θ ,r = 3 cos ⁡ θ
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas. r 2 = 2s e n2 θ ,r = 1