Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 8
Encontre uma equação da tangente da curva num dado ponto por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando o parâmetro primeiro.
Passo 1
Então, meu nobre amigo. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente a curva:
No ponto:
A equação da reta tangente é dada por:
Onde:
E o ponto:
É o ponto de tangencia e costuma ser dado na questão. Para a gente, é o ponto:
Veja que a questão nos pede também para resolvermos essa atividade primeiro sem eliminar os parâmetros, então a gente vai utilizar a forma de :
E eliminando os parâmetros:
Para eliminar os parâmetros a gente precisa isolar em uma das equações e substituir na outra equação.
Passo 2
Letra a)
Precisamos encontrar:
Então, vamos calcular :
E calcular :
Assim:
Passo 3
Em :
Isso implica que:
E então,
E assim,
Então uma equação da tangente é:
Ou então,
Passo 4
Letra b) Agora a gente precisa repetir o processo, porém dessa vez a gente precisa retirar o parâmetro:
Temos:
Vamos isolar o em :
Vamos utilizar da propriedade de logaritmos e trazer o :
Então a gente tem que :
Substituindo em :
Podemos reescrever:
Vamos elevar todo mundo a quarta potência:
Retirando o logaritmo:
Vamos agora derivar isso ai, utilizando a regra da cadeia:
Temos então:
Agora vamos substituir o ponto :
Encontrado o coeficiente angular, vamos substituir na equação da reta: