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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 59

Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais.

x = 1 + t e t ,   y = t 2 + 1 e t ;     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Olá, meu amigo. Tudo bem com você? Vamos resolver juntos essa atividade hoje.

Aqui temos a curva parametrizada:

x = 1 + t e t ,   y = t 2 + 1 e t ;     0 ≤ t ≤ 1

E queremos encontrar uma integral para a área da figura que essa curva parametrizada gera, quando ela é rotacionada em torno do eixo x .

Área de uma figura gerada pela rotação entorno do eixo x é dada por:

S = 2 π ∫ a b   y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Passo 2

Vamos derivar 1 + t e t :

d x d t = t e t + e t

E agora, derivar   t 2 + 1 e t :

d y d t = t 2 + 1 e t + e t ( 2 t )

Então:

d x d t 2 + d y d t 2 = t e t + e t 2 + t 2 + 1 e t + e t 2 t 2

Colocando em evidência:

d x d t 2 + d y d t 2 = e t t + 1 2 + e t t 2 + 2 t + 1 2

Escrevendo t 2 + 2 t + 1 = t + 1 2 :

d x d t 2 + d y d t 2 = e 2 t t + 1 2 + e 2 t t + 1 4

Colocando em evidência:

d x d t 2 + d y d t 2 = e 2 t t + 1 2 [ 1 + t + 1 2 ]

Passo 3

Escrevendo uma integral para a área de superfície, temos que:

S = 2 π ∫ a b   y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Temos que:

y = e 2 t t + 1 2 [ 1 + t + 1 2 ]

E um intervalo de   0 ≤ t ≤ 1 , isso implica que nossa integral de superfície será:

S = ∫ 0 1 2 π t 2 + 1 e t e 2 t t + 1 2 t 2 + 2 t + 2 d t

Como não temos como calcular na ‘mão’:

S = ∫ 0 1 2 π t 2 + 1 e 2 t t 2 + 2 t + 2 d t ≈ 103,5999

Resposta

S ≈ 103,5999

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