Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 19
Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.
Passo 1
Bom dia, boa tarde e boa noite, meu querido aluno. Vamos resolver mais uma atividade?
A gente tem a curva parametrizada dada pelas equações:
A gente precisa então encontrar em quais pontos dessa curva parametrizada, a tangente a essa curva é horizontal ou vertical.
Para encontrarmos o que precisamos, deveremos derivar a equação e encontramos o coeficiente angular da reta tangente. Ele é encontrado com essa derivada:
E após encontrarmos esse coeficiente, deveremos fazer o seguinte:
Para que as tangentes sejam horizontais, deveremos ter que:
E para que as tangentes sejam verticais, deveremos ter que:
Isso mesmo, quando for indefinido por conta do zero no denominador.
Passo 2
Toda a curva é traçada para .
E então, vamos derivar a função , assim, temos que:
E
Se , isso implica que:
E então,
E os pontos são descobertos substituindo esses valores nas equações de e :
Agora vamos derivar :
E
Se , isso implica que .
E os pontos são:
Passo 3
Ambos e são iguais a zero quando e . E a gente acaba com uma indeterminação do tipo
Para encontrar a inclinação quando , precisamos encontrar:
Para isso iremos utilizar a regra de l’Hospital:
O seno é zero para todos os valores múltiplos de , então se aproxima de toda vez que o denominador é zero. Isso significa que não temos tangentes verticais.
Assim, a curva tem tangentes horizontais em e e não há tangentes verticais.
E a curva fica da seguinte maneira:
Resposta
A curva tem tangentes horizontais em e e não há tangentes verticais.
