Enunciado

Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.

x = cos ⁡ θ ,   y = cos ⁡ 3 θ

Passo 1

Bom dia, boa tarde e boa noite, meu querido aluno. Vamos resolver mais uma atividade?

A gente tem a curva parametrizada dada pelas equações:

x = cos ⁡ θ ,   y = cos ⁡ 3 θ

A gente precisa então encontrar em quais pontos dessa curva parametrizada, a tangente a essa curva é horizontal ou vertical.

Para encontrarmos o que precisamos, deveremos derivar a equação e encontramos o coeficiente angular da reta tangente. Ele é encontrado com essa derivada:

d y d x = d y d θ d x d θ

E após encontrarmos esse coeficiente, deveremos fazer o seguinte:

Para que as tangentes sejam horizontais, deveremos ter que:

d y d x = 0

E para que as tangentes sejam verticais, deveremos ter que:

d x d θ = 0

Isso mesmo, quando d y d x for indefinido por conta do zero no denominador.

Passo 2

Toda a curva é traçada para 0 ≤ θ ≤ π .

E então, vamos derivar a função y = cos ⁡ 3 θ , assim, temos que:

d y d θ = - 3 sen ⁡ 3 θ

E

d y d θ = 0

Se sen ⁡ 3 θ = 0 , isso implica que:

3 θ = 0   ; π   ; 2 π   ; 3 π

E então,

θ = 0   ; π 3   ;   2 π 3   ;   π

E os pontos são descobertos substituindo esses valores nas equações de x e y :

x , y = 1,1 , 1 2 , - 1 , - 1 2 , 1   ; �� - 1 , - 1

Agora vamos derivar x = cos ⁡ θ :

d x d θ = - sen ⁡ θ

E

d x d θ = 0

Se sen ⁡ θ = 0 , isso implica que θ = 0   ;   π .

E os pontos são:

x , y = 1,1   ;   ( - 1 , - 1 )

Passo 3

Ambos d y d θ e d x d θ são iguais a zero quando θ = 0 e θ = π . E a gente acaba com uma indeterminação do tipo 0 0 .

Para encontrar a inclinação quando θ = 0 , precisamos encontrar:

lim θ → 0 ⁡ d y d x

Para isso iremos utilizar a regra de l’Hospital:

lim θ → 0 ⁡ d y d x = lim θ → 0 ⁡ 3 sen ⁡ 3 θ sen ⁡ θ

lim θ → 0 ⁡ d y d x = 9 cos ⁡ 3 θ cos ⁡ θ

lim θ → 0 ⁡ d y d x = 9

O seno é zero para todos os valores múltiplos de π , então d y d x se aproxima de 9 toda vez que o denominador é zero. Isso significa que não temos tangentes verticais.

Assim, a curva tem tangentes horizontais em 1 2 , - 1 e - 1 2 , 1 e não há tangentes verticais.

E a curva fica da seguinte maneira:

Resposta

A curva tem tangentes horizontais em 1 2 , - 1 e - 1 2 , 1 e não há tangentes verticais.

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Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r = cos ⁡ θ + s e nθ
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r = cos ⁡ 2 θ
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Trace a curva x = - 2 cos ⁡ t ,y = s e nt + s e n2 t para descobrir onde a curva intercepta ela mesma. Depois, encontre as equações de ambas as tangentes nesse ponto.
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