Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 20
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições.
Passo 1
Hello, meu brother. Vamos resolver essa atividade de valores máximos e mínimos aqui.
A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função:
Sujeita a duas restrições:
Para isso a gente vai utilizar os multiplicadores de Lagrange.
Para usar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições, precisamos fazer:
Então devemos encontrar os gradientes da nossa função, e das restrições. Eles são dados por:
E por:
Teremos então um sistema em conjunto com as equações das restrições. Após resolver esse sistema teremos pontos críticos, que serão testados na equação da função.
O maior valor obtido é o ponto de máximo, e o menor valor o ponto de mínimo.
Passo 2
No nosso caso aqui temos:
Para encontrar as derivadas parciais devemos derivar em relação a variável que a gente quer, e manter todas as outras como constantes, fazendo isso, a gente tem:
E
Agora para as restrições:
Por último:
E:
E por último:
Teremos então a nossa igualdade entre os vetores:
Beleza, daqui a gente tira que:
E precisamos que satisfazer:
Passo 3
De
temos que ou .
Se jogamos na restrição e temos:
E aí temos
Temos os pontos .
Passo 4
Vamos considerar agora que , que descobrimos no passo anterior:
Realizando essa substituição:
Temos também que:
Podemos escrever então que:
Substituímos em :
E aí o :
Então, descartamos essa possibilidade e ficamos com mesmo!
Passo 5
Nossos pontos possíveis são somente mesmo. Vamos ver o valor deles na função :
O valor mínimo da função nessas restrições então é e o maior é .