Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.6 - Ex. 21
Escreva u(x, t) = υ(x) + (x, t), em que υ e são as partes estacionária e transiente,respectivamente, da solução.
Enuncie os problemas de valores de contorno que υ(x) e w(x, t)satisfazem, respectivamente. Observe que o problema para é o problema de condução de calor fundamental discutido na Seção 10.5, com uma distribuição inicial de temperatura modificada.
Passo 1
Temos
Vamos fazer com que
Como
e
Usando as condições de contorno, temos:
Resposta
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Em cada um dos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansão em autofunções. y ' ' + 2 y = - x , y 0 = 0 , y 1 = 0
30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y =
Em cada um dos problemas de 19 a 22, use expansão em autofunções para encontrar a solução do problema de valores de contorno dado. u t = u x x - x , u 0 ,t = 0 , u x 1 ,t = 0 ,u x ,0 = sin π x / 2 V
Em cada um dos Problemas 24 e 25, use o método indicado no Problema 23 para resolver o problema de valores de contorno dado.24. u t = u x x - 2 u 0 ,t = 1 , u 1 ,t = 0 u x ,0 = x 2 - 2 x + 2
Nos problemas 31 a 34, resolva o problema de valor de contorno dado determinando a função de Green apropriada a expanssando a solução como uma integral definida. Use as equações de (i) a (iv) do probl