Escreva u(x, t) = υ(x) + (x, t), em que υ e são as partes estacionária e transiente,respectivamente, da solução.

Enuncie os problemas de valores de contorno que υ(x) e w(x, t)satisfazem, respectivamente. Observe que o problema para é o problema de condução de calor fundamental discutido na Seção 10.5, com uma distribuição inicial de temperatura modificada.

Passo 1

Temos

α ² u x x + s ( x ) = u t

u ( 0 , t ) = T 1 ,   u ( L , t ) = T 2     u ( x , 0 ) = f ( x ) .

Vamos fazer com que u ( x , t ) = v ( x ) + ω ( x , t )

Como α ² v ' ' + s ( x ) = 0   &   u t = 0 ⇒ α ² ω x x = ω t

e

ω ( 0 , t ) = u ( 0 , t ) - v ( 0 ) = T 1 - T 1 = 0

ω ( L , t ) = u ( L , t ) - v ( L ) = T 2 - T 2 = 0

ω ( x , 0 ) = u ( x , 0 ) - v ( x ) = f ( x ) - v ( x ) .

Usando as condições de contorno, temos:

ω ( 0 , t ) = 0             ω ( L , t ) = 0

ω ( x , 0 ) = f ( x ) = v ( x )

Resposta

ω ( x , 0 ) = f ( x ) = v ( x )

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