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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 1

Em cada um dos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansão em autofunções.

y ' ' + 2 y = - x ,     y 0 = 0 ,         y 1 = 0

Passo 1

Primeiro vamos escrever essa equação na forma...

- y ' ' = 2 y + x

Procuramos a solução do problema dado como uma série em termos das autofunções normalizadas ϕ n do problema homogêneo associado:

y ' ' + λ y = 0

A solução dessa EDO aí, sabemos que é:

y = c 1 sin ⁡ λ x + c 2 cos ⁡ λ x

Aplicando as condições iniciais do problema:

y 0 = 0         →

c 1 sin ⁡ 0 + c 2 cos ⁡ 0 = 0     →

c 2 = 0

E...

  y 1 = 0         →

c 1 sin ⁡ λ = 0

Para c 2 não ser 0 ...

λ = n π

Ou seja, os autovalores desse problema homogêneo são...

λ n = n 2 π 2

As autofunções ϕ n são...

ϕ n = k n sin ⁡ λ x

Lembre-se que temos que encontrar uma autofunção que seja normalizada, o que significa...

∫ 0 1 k n 2 sin 2 ⁡ n π x d x = 1

Resolvendo essa integral...

k n 2 1 2 - sin ⁡ 2 π n 4 π n = 1

Como sin ⁡ 2 π n = 0 ...

k n 2 2 = 1     →

k n = 2

Então as autofunções que são normalizadas e que a gente precisa nesse problema é:

ϕ n = 2 sin ⁡ n π x  

Passo 2

Beleza! Agora vamos resolver a equação propriamente dita:

- y ' ' = 2 y + x

Esse 2 na frente do y é o μ do teorema e μ deve ser diferente de λ n . Como no nosso caso, para qualquer que seja o n , n 2 π 2 nunca vai ser igual a 2 , isto é:

μ ≠ λ n

Então a solução da não homogênea de acordo com o nosso capítulo é...

y x = ∑ n = 1 ∞ c n λ n - 2 ϕ n x

No nosso caso, temos lambda e temos ϕ :

y x = ∑ n = 1 ∞ c n n 2 π 2 - 2 2 sin ⁡ n π x

Falta encontramos o c n , neh?

Passo 3

O c n pode ser encontrado pela equação:

c n = ∫ 0 1 f x ϕ n x   d x

Onde f x = x (É a parte não homogênea da EDO que estamos trabalhando ). Então...

c n = 2 ∫ 0 1 x sin ⁡ n π x d x =

2 sin ⁡ π n - π n cos ⁡ π n π 2 n 2

Como sin ⁡ n π = 0 e cos ⁡ n π = - 1 n ...

c n = - 2 - 1 n   π n

Logo, concluímos que a resposta da nossa EDO não homogênea será...

y x = ∑ n = 1 ∞ - 2 - 1 n   π n n 2 π 2 - 2 2 sin ⁡ n π x   →

y x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n + 1 n π n 2 π 2 - 2 sin ⁡ n π x  

Resposta

y x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n + 1 n π n 2 π 2 - 2 sin ⁡ n π x  

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