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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 19

Em cada um dos problemas de 19 a 22, use expansão em autofunções para encontrar a solução do problema de valores de contorno dado.

u t = u x x - x ,                                             u 0 ,   t = 0 ,             u x 1 ,   t = 0 ,       u x ,   0 = sin ⁡ π x / 2

Veja o Problema 2.

Passo 1

Bem, pela teoria, a solução da nossa EDP do calor pode ser dada pela série:

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n x

Onde ϕ n x são as autofunções da função X x e b n t a gente vai descobrir! Vamos nessa?

Passo 2

Primeiro, podemos separar a EDP homogênea em duas variáveis distintas:

u x ,   t = X x T t       →

Logo, substituindo na equação do calor homogênea...

u t = u x x     →

X x T ' t = X ' ' x T t

Separando as variáveis e igualando ao nosso velho amigo - λ :

X ' ' x X x = T ' t T t = - λ

Beleza! Aqui estamos apenas interessados no X x :

X ' ' x = - X x λ   →

X ' ' x + λ X x = 0

Das condições iniciais...

  u 0 ,   t = 0 ,             u x 1 ,   t = 0     →

X 0 = 0           e               X ' 1 = 0

OPA!!! Esse problema é exatamente o mesmo problema que enfrentamos no problema 2 desta Seção. Onde encontramos como autofunções normalizadas :

ϕ n = 2 sin ⁡ λ x

Com...

λ = 2 n - 1 π 2       →

λ n = 2 n - 1 2 π 2 4

Passo 3

Beleza! O ϕ então a gente já tem. Agora falta encontrar o b n que pode ser dado pela equação:

b n t = B n e - λ n t + ∫ 0 t e - λ n t - s γ n s d s

CALMA jovem gafanhoto! Vamos encontrar juntos cada um desses termos aí antes de substituir nessa integral linda e maravilhosa! Vamos começar pelo B n que pode ser dado por:

B n = ∫ 0 1 r x f x ϕ n x d x

Onde r x = 1 , o termo que multiplica u t e f x = u x ,   0 = sin ⁡ π x / 2 . Integrando então...

B n = ∫ 0 1 sin ⁡ π x / 2 2 sin ⁡ λ x ⋅ d x   →

B n = 4 2 λ cos ⁡ λ π 2 - 4 λ

Agora vamos determinar o γ n pela equação:

γ n = ∫ 0 1 F x ,   t ϕ n x d x

Onde o F x ,   t é a função que torna a EDP não homogênea:

u t = u x x - x   →

F x ,   t = - x

Integrando então...

γ n = ∫ 0 1 - x 2 sin ⁡ λ x d x =

λ cos ⁡ λ - sin ⁡ λ λ  

Agora... Finalmente podemos calcular o b n . Vamos fazer em outro passo para não ficar muito confuso, ok?

Passo 4

b n t = B n e - λ n t + ∫ 0 t e - λ n t - s γ n s d s     →

Onde o λ n ou simplesmente λ são os autovalores dados por:

λ n = 2 n - 1 2 π 2 4

Substituindo então os termos que encontramos no passo anterior...

b n t = 4 2 λ cos ⁡ λ π 2 - 4 λ e - λ n t + ∫ 0 t e - λ n t e λ n s λ cos ⁡ λ - sin ⁡ λ λ d s     →

Veja que esse termo dos colchetes é uma constante perante a variável de integração, assim como e - λ n t (estamos integrando em s ), então podem sair da integração:

b n t = 4 2 λ cos ⁡ λ π 2 - 4 λ e - λ n t + e - λ n t λ cos ⁡ λ - sin ⁡ λ λ ∫ 0 t e λ n s d s     →

Integrando...

b n t = 4 2 λ cos ⁡ λ π 2 - 4 λ e - λ n t + e - λ n t λ cos ⁡ λ - sin ⁡ λ λ e λ n t - 1 λ n  

E agora simplificando um pouquinho essa expressão, obteremos:

b n t = e - λ t 4 2 λ cos ⁡ λ π 2 - 4 λ + e λ t - 1 λ cos ⁡ λ - sin ⁡ λ λ 2

A solução então é dada pela série:

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n x     →

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ e - λ t 4 2 λ cos ⁡ λ π 2 - 4 λ + e λ t - 1 λ cos ⁡ λ - sin ⁡ λ λ 2 2 sin ⁡ λ x

Onde...

λ = 2 n - 1 π 2

Resposta

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ e - λ t 4 2 λ cos ⁡ λ π 2 - 4 λ + e λ t - 1 λ cos ⁡ λ - sin ⁡ λ λ 2 2 sin ⁡ λ x

Onde...

λ = 2 n - 1 π 2

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