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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 24

Em cada um dos Problemas 24 e 25, use o método indicado no Problema 23 para resolver o problema de valores de contorno dado.

24.

u t = u x x - 2

u 0 ,   t = 1 ,             u 1 ,   t = 0

u x ,   0 = x 2 - 2 x + 2

Passo 1

O problema 23 nos disse que dada uma EDP com esse formato aqui:

r x u t = p x u x x - q x u + F x

u 0 ,   t = T 1 ,             u 1 ,   t = T 2                 e               u x ,   0 = f x

Podemos considerar uma função ω tal que:

ω x ,   t = u x ,   t - v x

Onde v x obedece a essa equação aqui:

p x v ' ' - q x v = - F x ,       v 0 = T 1 ,           v 1 = T 2

No nosso caso, por comparação com o nosso problema em u , temos...

p x = 1 ,           q x = 0   ,             r x = 1                 e                 F x = - 2

Logo...

p x v ' ' - q x v = - F x     →

v ' ' = 2

v 0 = 1 ,           v 1 = 0

A solução dessa EDO nos dá v :

v = x 2 + c 2 + c 1 x

E com as condições de contorno...

v 0 = 1 = c 2

v 1 = 0 = 1 + c 2 + c 1       →

c 1 = - 2

v = x 2 + 1 - 2 x

Beleza! Então agora vamos considerar a equação:

ω x ,   t = u x ,   t - v x     →

Para montar o nosso problema em ω ! Vamos nessa?

Passo 2

Primeiro derivando essa equação em relação a t :

ω t = u t

Agora em relação a x :

ω x x = u x x - v x x   →

Subtraindo uma pela outra, vamos obter...

ω t - ω x x = u t - u x x + v x x

Como v x x = 2 e u t - u x x = - 2 pelo enunciado, então...

ω t - ω x x = - 2 + 2     →

ω t = ω x x

Das condições de contorno:

ω 0 ,   t = 0 ,             ω 1 ,   t = 0

E das condições iniciais:

ω x ,   0 = u x ,   0 - v x     →

ω x ,   0 = x 2 - 2 x + 2 - x 2 + 1 - 2 x   →

ω x ,   0 = 1

Beleza! Então veja que o problema recai sobre a seguinte EDP:

ω t = ω x x

ω 0 ,   t = 0 ,             ω 1 ,   t = 0           e               ω x ,   0 = 1

Bora resolvê-la usando as teorias do capítulo?

Passo 3

Bem, pela teoria, a solução da nossa EDP do calor pode ser dada pela série:

ω x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n x

Onde ϕ n x são as autofunções da função X x e b n t a gente vai descobrir! Vamos nessa?

Passo 4

Primeiro, podemos separar a EDP homogênea em duas variáveis distintas:

u x ,   t = X x T t       →

Logo, substituindo na equação do calor homogênea...

ω t = ω x x     →

X x T ' t = X ' ' x T t

Separando as variáveis e igualando ao nosso velho amigo - λ :

X ' ' x X x = T ' t T t = - λ

Beleza! Aqui estamos apenas interessados no X x :

X ' ' x = - X x λ   →

X ' ' x + λ X x = 0

Das condições iniciais...

ω 0 ,   t = 0 ,             ω 1 ,   t = 0   →

X 0 = 0           e               X 1 = 0

OPA!!! Esse problema é exatamente o mesmo problema que enfrentamos no problema 1 desta Seção. Onde encontramos como autofunções normalizadas :

ϕ n = 2 sin ⁡ n π x  

Com...

λ = n π       →

λ n = n 2 π 2

Passo 5

Beleza! O ϕ então a gente já tem. Agora falta encontrar o b n que pode ser dado pela equação:

b n t = B n e - λ n t + ∫ 0 t e - λ n t - s γ n s d s

CALMA jovem gafanhoto! Vamos encontrar juntos cada um desses termos aí antes de substituir nessa integral linda e maravilhosa! Vamos começar pelo B n que pode ser dado por:

B n = ∫ 0 1 r x f x ϕ n x d x

Onde r x = 1 , o termo que multiplica ω t e f x = ω x ,   0 = 1 . Integrando então...

B n = ∫ 0 1 2 sin ⁡ n π x d x   →

B n = - 2 - 1 n - 1 n π

Agora vamos determinar o γ n pela equação:

γ n = ∫ 0 1 F x ,   t ϕ n x d x

Onde o F x ,   t é a função que torna a EDP não homogênea:

ω t = ω x x + 0   →

F x ,   t = 0

Integrando então...

γ n = ∫ 0 1 0 d x =

0  

Agora... Finalmente podemos calcular o b n . Vamos fazer em outro passo para não ficar muito confuso, ok?

Passo 6

b n t = B n e - λ n t + ∫ 0 t e - λ n t - s γ n s d s     →

Onde o λ n ou simplesmente λ são os autovalores dados por:

λ n = 2 n - 1 2 π 2 4

Substituindo então os termos que encontramos no passo anterior...

b n t = - 2 - 1 n - 1 n π ⋅ e - λ n t + ∫ 0 t 0 d s     →

Então...

b n t = - 2 e - λ t - 1 n - 1 n π    

A solução então é dada pela série:

ω x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n x     →

ω x ,   t = ∑ n = 1 ∞ - 2 e - λ t - 1 n - 1 n π sin ⁡ λ x

Onde...

λ = n π

Passo 7

Lembre-se de que queremos a solução de u e não de ω . Mas lá dos primeiros passos...

ω x ,   t = u x ,   t - v x   →

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ - 2 e - λ t - 1 n - 1 n π sin ⁡ λ x + x 2 + 1 - 2 x

Resposta

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ - 2 e - λ t - 1 n - 1 n π sin ⁡ λ x + x 2 + 1 - 2 x

Onde...

λ = n π

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