Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando (x, y) tende ao ponto indicado:

d) f(x, y) = (x^6 + x^2) / (x^2 + y^2); P(0, 0)

Passo 1

Vamos supor que o limite não existe, assim para provar isso, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

lim x → 0 y = 0 ⁡ x 6 + x 2 x 2 + y 2 = lim x → 0 y = 0 ⁡ x 6 + x 2 x 2 + 0 2 = lim x → 0 ⁡ x 6 + x 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 = 1

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos y , temos que x = 0 . Logo:

lim x = 0 y → 0 ⁡ x 6 + x 2 x 2 + y 2 = lim x = 0 y → 0 ⁡ 0 6 + 0 2 0 2 + y 2 = lim y → 0 ⁡ 0 y 2 = lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Como os resultados são diferentes, temos que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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