Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 7
Use a regra de Simpson com para estimar o comprimento do arco da cúbica retorcida , , da origem até o ponto .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos estimar o com comprimento do arco da cúbica retorcida, da origem até o ponto , dada pelas seguintes equações paramétricas:
Para isso, o arco é dado pela seguinte integral:
Para resolver ela, precisaremos utilizar a Regra de Simpson.... Mas que regra é essa??
Bom... trata-se de um método numérico para resolvermos integrais.
Funciona assim:
Onde:
- é o número de subintervalos (deve ser par);
- é a largura de cada subintervalo.
Assim, vamos aplicar os valores dos pontos nas equações
Passo 2
Aplicando o ponto nas equações paramétricas, temos.
Para :
Para :
E, para :
Ou seja, podemos concluir que .
Passo 3
Então pela equação:
Com o intervalo
Temos:
Desenvolvendo a expressão, obtemos:
Passo 4
Agora vamos nomear a nossa função dentro da integral no passo anterior da seguinte forma:
Então, a Regra de Simpson, temos:
Sabemos que:
Assim, substituindo os termos, obtemos:
Resolvendo cada continha dessa, ao substituir cada valorzinho na função (um pouquinho trabalhoso, mas bem simples), temos: