Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 5

Fórmula para a curvatura do gráfico de uma função no plano xy

  1. O gráfico y = ƒ(x) no plano xy automaticamente possui a parametrização x = x, y = ƒ(x), e a fórmula vetorial r(x) = xi + ƒ(x)j. Utilize essa fórmula para mostrar que se ƒ é uma função duas vezes diferenciável de x, então

    2. k x = f ' ' x 1 + f ' x 2 3 2

  2. Utilize a fórmula para k no item (a) para encontrar a curvatura de y = ln (cos x), - π / 2 π / 2 . Compare sua resposta com a do Exercício 1.
  3. Mostre que a curvatura é zero em um ponto de inflexão.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora demonstrar.

  1. Precisamos encontrar a curvatura, então vamos derivar r para encontrar v, encontrar seu módulo e depois encontrar o unitário.

    2. v = d r d x = d d x x i + f x j

    v = i + f ' x j

    v = 1 2 + f ' x 2

    T = v | v |

    T = i + f ' x j 1 + f ' x 2

    d T d x = d d t 1 1 + f ' x 2 i + f ' x 1 + f ' x 2 j

    d T d x = - f ' x f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 2 i + f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 2 j

    d T d x = - f ' x f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 2 2 + f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 2 2

    d T d x = ( - f ' x f ' ' x 2 1 + f ' x 2 3 + f ' ' x 2 1 + f ' x 2 3

    d T d x = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2

    Por fim,

    k = 1 v ⋅ d T d t

    k = 1 1 2 + f ' x 2 ⋅ f ' ' x 1 + f ' x 2

    k x = f ' ' x 1 + f ' x 2 3 2

    E está demonstrado.

    Passo 2

  2. Vamos derivar duas vezes a função y para poder substituir na fórmula encontrada,

    3. d 2 y d x 2 = d d x d d x ln ⁡ cos ⁡ x

    d 2 y d x 2 = d d x - t g   x

    d 2 y d x 2 = - sec 2 ⁡ x

    k x = - sec 2 ⁡ x 1 + - t g   x 2 3 2

    Das relações trigonométricas 1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ x

    k x = - sec 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x

    k x = cos ⁡ x

    Que para quem não se lembra, é a mesma resposta encontrada no exercício 1.

    Passo 3

  3. O ponto de inflexão é aquele em que a curva muda a sua concavidade, para obtermos ele a segunda derivada deve ser 0, e note que, se f ' ' x = 0 , então a curvatura também é zero, já que depende diretamente dessa função.

Bora pro próximo.

Resposta

  1. Demonstração.
  2. k x = cos ⁡ x
  3. Demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que underset(X - P)(lim) F ( X ) = L , c o m L != 0 . Prove que existe r0 tal que:0||X - P||r - ||F (X)||(||L||)/(2)
Sejam F : Ω ⊂ R n → R m e seja P um ponto de acumulação de Ω . Suponha que exista M0 tal que, para todo X ∈ Ω , F X - LM X - P , onde L ∈ R m é um vetor fixo. Calcule lim X → P ⁡ F ( X ) e justifique.
Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 11-16 para r como uma função vetorial de t.Equação diferencial: d 2 r d t 2 = - i + j + k Condição inicial: r 0 = 10 i + 10 j + 10 k e d r d t ​ t
Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 11-16 para r como uma função vetorial de t.Equação diferencial: d r d t = t 3 + 4 t i + t j + 2 t 2 k Condição inicial: r 0 = i + j
Produtos de funções escalares e vetoriais Suponha que a função escalar u(t) e a função vetorial r(t) sejam ambas definidas para a ≤ t ≤ b . a. Mostre que ur é contínua em [a, b] se u e r forem contínu