Fórmula para a curvatura do gráfico de uma função no plano xy
- O gráfico y = ƒ(x) no plano xy automaticamente possui a parametrização x = x, y = ƒ(x), e a fórmula vetorial r(x) = xi + ƒ(x)j. Utilize essa fórmula para mostrar que se ƒ é uma função duas vezes diferenciável de x, então
- Utilize a fórmula para k no item (a) para encontrar a curvatura de y = ln (cos x),
π / 2 . Compare sua resposta com a do Exercício 1. - Mostre que a curvatura é zero em um ponto de inflexão.
Passo 1
Fala minha galera querida!! Bora demonstrar.
- Precisamos encontrar a curvatura, então vamos derivar r para encontrar v, encontrar seu módulo e depois encontrar o unitário.
- Vamos derivar duas vezes a função y para poder substituir na fórmula encontrada,
- O ponto de inflexão é aquele em que a curva muda a sua concavidade, para obtermos ele a segunda derivada deve ser 0, e note que, se , então a curvatura também é zero, já que depende diretamente dessa função.
Por fim,
E está demonstrado.
Passo 2
Das relações trigonométricas
Que para quem não se lembra, é a mesma resposta encontrada no exercício 1.
Passo 3
Bora pro próximo.
Resposta
- Demonstração.
- Demonstração.