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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 6

Fórmula para a curvatura do gráfico de uma função no plano xy

  1. Mostre que a curvatura de uma curva suave r(t) = ƒ(t)i + g(t)j definida pelas funções duas vezes diferenciáveis x = ƒ(t) e y = g(t) é dada pela fórmula

    2. k x = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 2

    Os pontos na fórmula denotam diferenciação com relação a t, uma derivada para cada ponto. Aplique a fórmula para encontrar as curvaturas das seguintes curvas.

  2. r t = t i + ln ⁡ s e n   t j , 0 < t < π
  3. r t = t g - 1 s e n h   t i + ( ln ⁡ cosh ⁡ t ) j .

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora demonstrar.

  1. Precisamos encontrar a curvatura, então vamos derivar r para encontrar v, encontrar seu módulo e depois encontrar o unitário.

    2. v = d r d t = d d t x i + y j

    v = x ˙ i + y ˙ j

    v = x ˙ 2 + y ˙ 2

    T = v | v |

    T = x ˙ i + y ˙ j x ˙ 2 + y ˙ 2

    d T d x = d d t x ˙ x ˙ 2 + y ˙ 2 i + y ˙ x ˙ 2 + y ˙ 2 j

    d T d x = y ˙ y ˙ x ¨ - x ˙ y ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 2 i + x ˙ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 2 j

    d T d x = y ˙ y ˙ x ¨ - x ˙ y ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 2 2 + x ˙ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 2 2

    d T d x = y ˙ 2 + x ˙ 2 y ˙ x ¨ - x ˙ y ¨ 2 x ˙ 2 + y ˙ 2 3

    d T d x = y ˙ x ¨ - x ˙ y ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2

    Por fim,

    k = 1 v ⋅ d T d t

    k = 1 x ˙ 2 + y ˙ 2 ⋅ | y ˙ x ¨ - x ˙ y ¨ | x ˙ 2 + y ˙ 2

    k x = | x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ | x ˙ 2 + y ˙ 2 3 2

    E está demonstrado.

    Passo 2

  2. Vamos derivar duas vezes a função y e duas vezes x para poder substituir na fórmula encontrada,

    3. d 2 y d t 2 = d d t d d t ln ⁡ s e n   t

    d 2 y d t 2 = d d t cot ⁡ t

    d 2 y d t 2 = - c o s s e c 2   t

    d 2 x d t 2 = d d t d d t t

    d 2 x d t 2 = d d t 1

    d 2 x d t 2 = 0

    k = | - c o s s e c 2 t ⋅ 1 - cot ⁡ t ⋅ 0 | 1 + cot 2 ⁡ t 3 2

    Das relações trigonométricas 1 + cot 2 ⁡ t = cossec 2 ⁡ t

    k = cossec 2 ⁡ t cossec 3 ⁡ t

    k = sen ⁡ t

    Passo 3

  3. Vamos derivar duas vezes a função y e duas vezes x para poder substituir na fórmula encontrada,

d 2 y d t 2 = d d t d d t ln ⁡ cosh ⁡ t

d 2 y d t 2 = d d t senh ⁡ t cosh ⁡ t = d d t tgh ⁡ t

d 2 y d t 2 = sech 2 ⁡ t

d 2 x d t 2 = d d t d d t t g - 1 ( s e n h   t )  

d 2 x d t 2 = d d t cosh ⁡ t 1 + s e n h 2   t

Das relações trigonométricas 1 + senh 2 ⁡ t = cosh 2 ⁡ t

d 2 x d t 2 = d d t 1 cosh ⁡ t = d d t ( sech ⁡ t )

d 2 x d t 2 = - sech ⁡ t t g h   y

k = | sech ⁡ t ⋅ sech 2 ⁡ t - ( - sech ⁡ t ⋅ t g h   t ) ⋅ tgh ⁡ t | sech ⁡ t 2 + tgh ⁡ t 2 3 2

Das relações trigonométricas sech 2 ⁡ t + tgh 2 ⁡ t = 1

k = | sech 3 ⁡ t + sech ⁡ t t g h 2   t | 1 3 2

k = sech ⁡ t ( sech 2 ⁡ t + t g h 2   t )

k = sech ⁡ t

Bora pro próximo.

Resposta

  1. Demonstração.
  2. k = sen ⁡ t
  3. k = sech ⁡ t

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