Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 7

Normais a curvas planas

  1. Mostre que n(t) = –g’(t)i + ƒ’(t)j e –n(t) = g’(t)i – ƒ’(t)j são ambos normais à curva r(t) = ƒ(t)i + g(t)j no ponto (ƒ(t), g(t)).

Para obtermos N para uma curva plana em particular, podemos escolher n ou –n do item (a), que aponta na direção do lado côncavo da curva, e torná-lo um vetor unitário. (Veja a Figura 13.19.) Aplique esse método para encontrar N para as curvas a seguir

  1. r t = t i + e 2 t j
  2. r t = 4 - t 2 i + t j , - 2 ≤ t ≤ 2 .

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora demonstrar.

  1. Vamos mostrar que são vetores normais a curva, primeiro vamos encontrar o parâmetro.

    2. v = d r d t = d d t f ( t ) i + g ( t ) j

    v = f ' ( x ) i + g ' ( t ) j

    Essa é uma função tangente a curva no ponto (f(t), g(t)).

    Agora vamos multiplicar o vetor n pelo parâmetro, se zerar então n é uma normal a curva no ponto.

    n ⋅ v = – g ’ t i   +   ƒ ’ t j ⋅ f ' x i + g ' t j

    n ⋅ v = - g ' t f ' t + f ' t ' g ( t )

    n ⋅ v = 0

    Portanto, n é normal a curva, da mesma maneira, -n também é.

    E está demonstrado.

    Passo 2

  2. Vamos encontrar N com o método que acabamos que acabamos de aprender.

    3. Primeiro vamos achar o parâmetro.

    v = d r d t = d d t t i + e 2 t j

    v = i + 2 e 2 t j

    Bora usar o n então,

    n = - 2 e 2 t i + j

    n = 2 e 2 t 2 + 1 2

    n = 4 e 4 t + 1

    N = n n = - 2 e 2 t i + j 4 e 4 t + 1

    N = - 2 e 2 t 4 e 4 t + 1 i + 1 4 e 4 t + 1 j

    Passo 3

  3. De maneira análoga ao item b,

v = d r d t = d d t 4 - t 2 i + t j

v = - t 4 - t 2 i + j

Bora usar o n então,

n = - i + - t 4 - t 2 j

n = ( - 1 ) 2 + - t 4 - t 2 i 2

n = 1 + t 2 4 - t 2

n = 2 4 - t 2

N = n n = - i + - t 4 - t 2 j 2 4 - t 2

N = - 1 2 4 - t 2 i + t j

Bora pro próximo.

Resposta

  1. Demonstração.
  2. N = - 2 e 2 t 4 e 4 t + 1 i + 1 4 e 4 t + 1 j .
  3. N = - 1 2 4 - t 2 i + t j .

Exercícios de Livros Relacionados

Atingindo uma bola de beisebol com resistência linear Considere o problema de beisebol no Exemplo 5, em que existe uma resistência linear (veja o Exercício 37). Assuma um coeficiente de resistência k
Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 11-16 para r como uma função vetorial de t.Equação diferencial: d r d t = 180 t i + ( 180 t - 16 t 2 ) j Condição inicial: r 0 = 100 j
Atingindo uma bola de beisebol com resistência linear sob uma rajada de vento Considere novamente o problema sobre beisebol no Exemplo 5. Desta vez, considere um coeficiente de resistência de 0,08 e u
Estabeleça as seguintes propriedades das funções vetoriais integráveis. A regra da multiplicação por escalar constante: ∫ a b k r t d t = k ∫ a b r t d t dt (k qualquer escala) A regra para negativos,
(Continuação do Exercício 7.)Utilize o método do Exercício 7 para encontrar N para a curva r(t) = ti + (1/3)t^3j quando t 0.Calcule N para t ≠ 0 diretamente de T utilizando a Equação 4 para a curva no