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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 35

35. Determine o centroide de uma placa fina e plana que abrange a região "triangular" no primeiro quadrante, limitada pelo eixo y , pela parábola y = x 2 / 4 e pela reta y = 4 .

Passo 1

Desenhando essa parábola, vamos ver que essa área vai ficar dessa forma:

Como não foi falado nada da densidade, vamos considerar ela constante, sendo assim o centroide é igual ao centro de massa:

Aqui vamos ter que calular o centro de massa de x e de y

Para calcular o centro de massa, vamos usar as faixas de massa, que tem o centro de massa em:

x ~ , y ~ = x , y 1 x + y 2 x 2

x ~ , y ~ = x , 4 + x 2 / 4 2

O tamanho dessas faixas vão ser:

4 - x 2 / 4

Se multplicarmos o comprimento das faixas por um d x , vamos obter o elemento de área dessas faixas:

d A = 4 - x 2 4 d x

Multiiplicando pela densidade, temos o elemento infinitesimal de massa:

d m = δ ⋅ d A

d m = δ ⋅ 4 - x 2 4 d x

Passo 2

Agora de que temos y ~ e d m podemos calcular o momento em x , M x :

M x = ∫ y ~ d m

Podemos ver no gráfico que x vai de 0 até 4, ou seja, esses são os limites de integração:

M x = ∫ 0 4 4 - x 2 4 2 ⋅ δ 4 - x 2 4 d x

M x = δ 2 ∫ 0 4 4 - x 2 4 ⋅ 4 - x 2 4 d x

M x = δ 2 ∫ 0 4 16 - x 4 16 d x

M x = δ 2 16 x - x 5 80 0 4

M x = δ 2 16 4 - 4 5 80

M x = δ 2 64 - 64 5

M x = δ 2 4 ⋅ 64 5

M x = 128 δ 5

Passo 3

Como também temos x ~ e d m podemos calcular o momento em y , M y :

M y = ∫ x ~ d m

M y = ∫ 0 4 x ⋅ δ 4 - x 2 4 d x

M y = δ ∫ 0 4 4 x - x 3 4 d x

M y = δ 2 x 2 - x 4 16 0 4

M y = δ 2 4 2 - 4 4 16

M y = δ 32 - 16

M y = 16 δ

Passo 4

Para conseguirmos calcular o centro de massa só nos resta saber

M = ∫ d m

M = ∫ 0 4 δ 4 - x 2 4 d x

M = δ ∫ 0 4 4 - x 2 4 d x

M = δ 4 x - x 3 12 0 4

M = δ 4 4 - 4 3 12

M = δ 16 - 64 12

M = 32 δ 3

Passo 5

Agora temos tudo o que precisamos para calcular o centro de massa em y :

y - = M x M

y - = 128 δ 5 32 δ 3

y - = 128 δ 5 ⋅ 3 32 δ

y - = 12 5

E também em x :

x - = M y M

x - = 16 δ 32 δ 3

x - = 16 δ ⋅ 3 32 δ

x - = 3 2

Resposta

( x - , y - ) = 3 2 , 12 5

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Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares b )ρ = sin ⁡ θeρ = 1 - cos ⁡ θ
Ache o centroide da região do exercício 99.
A densidade linear de uma barra com 3m de comprimento num ponto a x m de uma extremidade é k e - 3 xk g / m . Encontre a massa e o centro de massa da barra.
Ache a área da região limitada pelo laço da curva x 2 = y 4( 1 - y 2 ) .
Ache o centro de massa de uma barra com 4m , se a densidade linear num ponto a xm do extremo esquerdo for 9 + x 2k g / m .