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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 32

Dê uma estimativa para a área da região do primeiro quadrante englobada por y = s e n   2 x e y = a r c s e n   x .

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos usar um recurso gráfico para esboçar nossa região.

A gente percebe que como temos funções que variam em x , é melhor montarmos a integral em relação a esse eixo. Outra coisa que vemos é que nossa região é limitada por cima pela função y = s e n ( 2 x ) (função maior) e por baixo pela função y = a r c s e n   x (função menor). Aí integral fica com essa carinha:

A = ∫ x 1 x 2 s e n 2 x - a r c s e n   x   d x

Passo 3

Precisamos achar os extremos de integração, para isso fazemos a intercessão entre as duas curvas:

y = s e n   2 x ,   y = a r c s e n   x

s e n 2 x = a r c s e n   x

Para resolver isso, usamos um software, que nos diz que:

x 1 = 0 ,     x 2 ≈ 0,8384

Nossa integral fica:

A = ∫ 0 0,8384 s e n 2 x - a r c s e n   x   d x

Passo 4

Agora é só calcular:

A = ∫ 0 0,8384 s e n 2 x - a r c s e n   x   d x

Usando um software, vemos que:

A = 0,1742

Resposta

A = 0,1742

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