Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 11.2 - Ex. 37
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Fala, galera! Tudo tranquilo?
Como funcionam as séries telescópicas?
Em geral as séries telescópicas tem uma multiplicação no denominador na fração que quando expandimos em duas frações conseguimos achar um padrão onde vários termos se cancelam e a soma se reduz a alguns termos.
Então, vamos precisar encontrar usando frações parciais, pois esse método permite transformar uma fração complexa em uma soma de frações mais simples.
Achando a soma já sabemor que a série será convergente e convergirá para o valor da soma.
Passo 2
Agora precisamos mudar a cara deste termo, para isso vamos expandir sua fração:
Precisamos achar o valor de e , então vamos fazer o MMC para somar as frações:
E sabemos que:
Então temos que:
Distribuindo a multiplicação e colocando em evidência:
E agora, por igualdade de polinômios chegamos no sistema:
Da primeira equação podemos tirar que
Na segunda:
Voltando ao :
Então nosso termo geral tem a cara
Logo nossa série
Passo 3
Buscando agora quanto vale nossa soma, vamos analisar o
Analisando o padrão, percebemos que todos os termos de cancelam, menos as primeiras frações dos três primeiros termos, porque os denominadores negativos começam no e só aumentam, e as segundas frações dos três últimos, porque as frações positivas terminam em então nossa soma se reduz a
Colocando em evidencias
Passo 4
Para descobrir a soma, basta aplicar o limite:
Calculando o limite vemos que os termos com no denominador diminuem até tender a zero. Então ficamos com:
Fazendo o MMC (mínimo múltiplo comum) para somar as frações:
Logo:
Resposta
A série converge e sua soma é: