Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 13
Determine se a série converge ou diverge.
13-
Passo 1
E aí, meus queridos! Tudo certinho?
Vamos usar nosso Teste da Comparação. Nunca é demais relembramos a ideia por trás do teste.
Basicamente precisamos achar uma série que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa série dada no enunciado.
- Se for convergente e para todo , então também será convergente.
- Se for divergente e para todo , então também será divergente.
Geralmente usamos séries-p ou séries geométricas para comparação. No nosso caso, vamos usar uma série geométrica que já sabemos que converge, ou seja, vamos achar uma série que satisfaz essa nossa condição (i).
Lembrando então que pra série geométrica o formato é:
E que esse tipo de série converge se .
Vamos ver como é isso passo a passo!
Passo 2
Pelo termo no denominador temos uma boa chance dessa série convergir então precisamos encontrar uma fração que seja menor que a que foi dada a melhor forma é sempre tirar as constantes da fração, então temos:
O que é a mesma coisa que:
Que é uma série geométrica e razão , o que nós já sabemos que é uma série convergente.
Passo 3
Agora vamos comparar nossa e nossa . Como os numeradores são menores logo:
Ou seja:
E converge. Logo se a série que tem termos maiores converge então a que tem componentes menores também convergirá.
Resposta
A série converge.