Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 39
Estime com precisão de cinco casas decimais.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo certo?
Bom, pessoal, o que o enunciado quer basicamente é que calculemos o valor da nossa série:
com base num limitante para o erro de aproximação. Quando o enunciado informa “precisão de cinco casas decimais”, ele quer que cheguemos num número do tipo .
Isso significa que o erro de aproximação deve ser tal que:
Ou seja, um erro de, no máximo, , de modo que se arredondaria o valor em e, portanto, assegurando a precisão na quinta casa decimal.
Para calcular o erro , temos:
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular o .
Passo 2
Já sabemos que:
Resolvendo nossa integral, vamos ter e aplicando os limites de integração e :
Resolvendo agora o limite:
Note que o primeiro termo do limite tende a zero conforme o denominador vai crescendo cada vez mais, enquanto o segundo termo se mantém constante, já que ele não depende de .
Como vimos no Passo 1, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que . Logo,
Portanto, teremos que:
Passo 3
Para finalizar, vamos achar nossa soma que tem a precisão que precisamos:
Como o valor de precisa ser um número inteiro, usaremos . Portanto, a nossa aproximação será: