Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 39

Estime com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certo?

Bom, pessoal, o que o enunciado quer basicamente é que calculemos o valor da nossa série:

com base num limitante para o erro de aproximação. Quando o enunciado informa “precisão de cinco casas decimais”, ele quer que cheguemos num número do tipo .

Isso significa que o erro de aproximação deve ser tal que:

Ou seja, um erro de, no máximo, , de modo que se arredondaria o valor em e, portanto, assegurando a precisão na quinta casa decimal.

Para calcular o erro , temos:

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular o .

Passo 2

Já sabemos que:

Resolvendo nossa integral, vamos ter e aplicando os limites de integração e :

Resolvendo agora o limite:

Note que o primeiro termo do limite tende a zero conforme o denominador vai crescendo cada vez mais, enquanto o segundo termo se mantém constante, já que ele não depende de .