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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.3 - Ex. 27

Esboce a região delimitada pelas curvas, e visualmente estime a localização do centroide. A seguir, calcule as coordenadas exatas do centroide.

y = e x ,   y = 0 ,   x = 0 ,   x = 1

Passo 1

Beleza galera, nessa questão queremos encontrar o centroide delimitado pelas curvas. Para isso, iremos esboçar graficamente as curvas e iremos calcular as coordenadas exatas do centroide utilizando as definições do centroide.

O gráfico gerado pelas curvas no GeoGebra::

Passo 2

Por definição, temos que as coordenadas do centroide são:

x - = 1 A ∫ x 1 x 2 x f x d x

y - = 1 2 A ∫ x 1 x 2 f x 2 d x

Dessa forma, temos que a área da região é dada por:

A = ∫ 0 1 e x d x = e x 0 1 = e - 1

Aqui temos a área limitada superiormente por e x , inferiormente por y = 0   e lateralmente por x = 0   e   x = 1   .

Passo 3

Calculando utilizando as definições do passo anterior, temos

x - = 1 e - 1 ∫ 0 1 x e x d x = 1 e - 1 x e x - e x 0 1 = 1 e - 1

y - = 1 2 e - 1 ∫ 0 1 e x 2 d x = 1 4 e - 1 e 2 x 0 1 = e + 1 4

Graficamente

Resposta

x - ,   y - = 1 e - 1 , e + 1 4

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