Enunciado

Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.

g) f x = x 4 - 4 x 3 + 4 x 2 + 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? A primeira coisa a fazer aqui é encontrar os pontos críticos, para isso vamos igualar a primeira derivada à zero.

Vamos calcular a derivada da função:

f ' x = 4 x 3 - 12 x 2 + 8 x = 4 x x 2 - 3 x + 2

Agora vamos achar os pontos críticos!

Passo 2

Igualando a derivad a zero, ficamos com

4 x x 2 - 3 x + 2 = 0

Para essa equação zerar, temos que

4 x = 0           o u           x 2 - 3 x + 2 = 0

Ou seja, os pontos críticos e possíveis mínimos ou máximos serão x = 0 , x = 1 e x = 2 .

Lembrando que x = 1 e x = 2 a gente encontrou resolvendo a equação de segundo grau x 2 - 3 x + 2 = 0 .

Passo 3

Vamos avaliar a função nos pontos críticos:

f 0 = 2

f 1 = 1 - 4 + 4 + 2 = 3

f 2 = 16 - 32 + 16 + 2 = 2

Agora perceba que:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = + ∞

Sendo assim, já obtemos que 0 e 2 são pontos de mínimo global.

Agora vamos para segunda derivada!

Passo 4

Para saber se 1 é máximo ou mínimo local, vamos calcular a derivada segunda da função:

f ' ' x = 12 x 2 - 24 x + 8

f ' ' 1 = 12 - 24 + 8 = - 4 < 0

Como encontramos um valor menor que zero, isso significa que 1 é ponto de máximo local.

Resposta

0 e 2 são pontos de mínimo global

1 é ponto de máximo local

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