Enunciado

Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.

d) f x = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x + 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? A primeira coisa a fazer aqui é encontrar os pontos críticos, para isso vamos igualar a primeira derivada à zero.

Vamos calcular a derivada da função:

f x = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x + 3

f ' x = 6 x 2 - 18 x + 12

Agora vamos achar os pontos críticos!

Passo 2

Igualando a nossa derivada a zero,

6 x 2 - 18 x + 12 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, chegamos que os pontos críticos e possíveis mínimos ou máximos locais serão:

x = 1

x = 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda da função para descobrir se temos um máximo ou mínimo:

f ' ' x = 12 x - 18

Aplicando x = 1 em f ' ' x , vemos que

f ' ' 1 = - 6 < 0

Como encontramos um valor menor que zero, isso significa que 1 é ponto de máximo local.

E para x = 2 , ficamos com

f ' ' 2 = 6 > 0 .

Como encontramos um valor maior que zero, temos que 2 é ponto de mínimo local.

E não há máximos nem mínimos globais porque lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ e lim x → - ∞ ⁡ - ∞ , beleza?

Resposta

1 é ponto de máximo local e 2 é ponto de mínimo local

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