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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 222

Estude a variação da função f (x) = (1 - cos 2 x)^((1)/(2)) * (1 + cos 2 x)^(- (1)/(2))

Passo 1

Aqui vamos transformar nossa função em uma expressão mais simples de se estudar, por exemplo uma função seno, cosseno ou tangente. O primeiro passo vai ser reescrever a função dada da seguinte forma:

f (x) = (1 - cos 2 x)^((1)/(2)) * (1 + cos 2 x)^(- (1)/(2)) = sqrt(1 - cos 2 x) * (1)/(sqrt(1 + cos 2 x))

f (x) = (sqrt(1 - cos 2 x))/(sqrt(1 + cos 2 x)) = sqrt((1 - cos 2 x)/(1 + cos 2 x))

Passo 2

Agora, vamos relembrar a igualdade t g (a)/(2) = +- sqrt((1 - cos a)/(1 + cos a))

Bem parecida com a nossa função né? Apenas trocando a = 2 x . Então, vamos reescrever de movo nossa expressão:

f (x) = sqrt((1 - cos 2 x)/(1 + cos 2 x)) = t g (2 x)/(2) = t g x

Vale se atentar ao fato de que essa tangente sai em módulo, pois na fórmula original a gente tinha um +- , logo, nossa função vai ser

f (x) = |t g x|

Passo 3

Para estudar essa função é bem simples, basta perceber que a função tangente vai para +- oo mas como temos o módulo, nossa imagem será I m (f) = R +

Nosso período que na função tangente é 2 pi , aqui será só pi pois retiramos a parte negativa da função. E por fim, nosso domínio será igual ao da função tangente, ou seja, D (f) = { x in (R)/(x) != (pi)/(2) + k pi }

Resposta

Resposta nos passos

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Prove que:
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Em cada caso, determine o conjunto ao qual m deve pertencer de modo que exista x, satisfazendo a igualdade: a ) c o t gx = 2 - m b ) sec ⁡ x = 3 m - 2 c ) c o s s e cx = 2 m - 1 1 - 3 m
Determine o domínio e o período das seguintes funções reais: f x = c o t g x - π 3 g x = sec ⁡ 2 x h x = c o s s e c x + π 4