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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 229e

Transforme em produto: e) y = cos^2 p - cos^2 q

Passo 1

A ideia nessa questão é primeiro usar a fatoração de diferença de quadrados e depois as fórmulas para transformar as somas e diferenças de cosseno em produto. Podemos começar escrevendo:

cos^2 p - cos^2 q = (cos p + cos q) * ( cos p - cos q )

Passo 2

Aqui vamos transformar (cos p + cos q) em um produto através da fórmula:

cos p + cos q = 2 * cos (p + q)/(2) * cos (p - q)/(2)

Então de momento estamos com expressão:

y = (2 * cos (p + q)/(2) * cos (p - q)/(2)) * ( cos p - cos q )

Passo 3

Agora vamos transformar ( cos p - cos q ) em produto, com a fórmula análoga a do passo anterior:

cos p - cos q = - 2 * sen (p + q)/(2) * sen (p - q)/(2)

Então de momento estamos com expressão:

y = (2 * cos (p + q)/(2) * cos (p - q)/(2)) * (- 2 * sen (p + q)/(2) * sen (p - q)/(2))

Passo 4

Abrindo convenientemente o produto da expressão ficaremos com:

y = 2 * sen (p + q)/(2) * cos (p + q)/(2) * - 2 * sen (p - q)/(2) * cos (p - q)/(2)

Relembrando a fórmula do s e n 2 a :

s e n 2 a = 2 * s e n a * cos a

Podemos perceber que podemos escrever tal produto como:

y = s e n (p + q) * - s e n ( p - q )

Resposta

y = - s e n (p + q) * s e n ( p - q )

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