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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 229d

Transforme em produto: a) y = c o s (a + 3 b) + c o s (a + 2 b) + c o s (a + b) + c o s a

Passo 1

Para transformar em produto, vamos utilizar uma das fórmulas dadas anteriormente neste capítulo, como temos uma soma de cossenos, vamos utilizar:

cos p + cos q = 2 * cos (p + q)/(2) * cos (p - q)/(2)

Diferente dos outros itens deste exercício, temos 4 parcelas somadas, então vamos utilizar a fórmula separadamente de duas em duas parcelas

Passo 2

Focando nas parcelas ( cos (a + 3 b) + cos a ), podemos admitir p = a + 3 b e q = a , vamos substituir na fórmula:

cos p + cos q = 2 * cos (a + 3 b + a)/(2) * cos (a + 3 b - ( a ))/(2)

cos (a + 3 b) + cos a = 2 * cos (2 a + 3 b)/(2) * cos (3 b)/(2)

Passo 3

Agora focando nas parcelas cos ( a + 2 b ) + cos ( a + b ) , podemos admitir p = a + 2 b e q = a + b , substituindo na fórmula:

cos p + cos q = 2 * cos (a + 2 b + a + b)/(2) * cos (a + 2 b - (a + b))/(2)

cos ( a + 2 b ) + cos ( a + b ) = 2 * cos (2 a + 3 b)/(2) * cos (b)/(2)

Passo 4

Nossa expressão neste momento pode ser escrita como:

y = 2 * cos (2 a + 3 b)/(2) * cos (3 b)/(2) + 2 * cos (2 a + 3 b)/(2) * cos (b)/(2)

Colocando 2 * cos (2 a + 3 b)/(2) em evidência, ficamos com:

y = 2 * cos (2 a + 3 b)/(2) * (cos (3 b)/(2) + cos (b)/(2)) Agora podemos transformar a soma cos (3 b)/(2) + cos (b)/(2) em um produto através da fórmula dada:

cos p + cos q = 2 * cos (p + q)/(2) * cos (p - q)/(2)

No nosso caso, p = (3 b)/(2) e q = (b)/(2) , substituindo na fórmula ficamos com:

c o s p + c o s q = 2 * c o s ((3 b)/(2) + (b)/(2))/(2) * c o s ((3 b)/(2) - (b)/(2))/(2)

c o s (3 b)/(2) + c o s (b)/(2) = 2 * c o s (2 b)/(2) * c o s (b)/(2)

c o s (3 b)/(2) + c o s (b)/(2) = 2 * c o s b * c o s (b)/(2)

Resposta

Como Resposta, basta escrevermos toda nossa expressão obtida, ou seja:

y = 4 * cos (2 a + 3 b)/(2) * (c o s b * c o s (b)/(2))

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Dados s e n O/ = (3)/(5) e(pi)/(2)thetapi calcule A = 25 s e n theta + sqrt(10) s e n (theta)/(2)
Sabendo que s e n a = (3)/(5) e cos a = (4)/(5) , calcule s e n 2 a + cos 2 a .
Transforme em produto: a) y = cos ( a + 2 b ) + cos a
Se t g (a)/(2) = (1)/(2) , calcule t g a .
Calcule s e n a , sabendo que c o t g (a)/(2) = sqrt(3)