Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 28b
Esvaziamento de um reservatório cônico Agua escoa de um reservatório de concreto cônico (vértice para baixo), com raio da base de 45 m e altura de 6 m, a uma taxa de 50 m3/min.
a. Qual a velocidade ( cm/min) da diminuição do nível da água quando a profundidade for de 5 m?
b. Qual a velocidade da variação do raio na superfície da água nesse momento? Use cm/min como unidade
Passo 1
Dados do reservatório cônico:
Conversão:
Passo 2
A altura da água no exato momento da questão é de 4 metros e como o reservatório é cônico a relação raio/altura é diretamente proporcional. Logo o raio ocupado é de:
Como queremos a variação do raio:
Volume ocupado pela água é de:
Passo 3
Substituindo r temos:
Derivando a equação no tempo temos:
Como a profundidade a água é de 5 m precisamos encontrar o raio, logo:
Uma vez que a vazão é de saída.
Explicitando
Resposta
Convertendo o valor:
Um outro jeito de se fazer seria fazendo:
Como temos da letra a a variação de altura no tempo, bastaria derivar a equação de cima e multiplicar