Enunciado

Um avião está voando a uma altitude constante e com uma velocidade constante de 600   k m / h . Um míssil antiaéreo é disparado em uma linha reta perpendicular à trajetória de voo do avião, de tal forma que irá atingi-lo em um ponto P (ver figura abaixo). No instante em que o avião está a 2   k m do ponto de impacto, o míssil está a 4   k m dele e voando a   1.200   k m / h . Naquele instante com que rapidez estará decrescendo a distância entre o míssil e o avião?

Passo 1

Vamos ver um desenho melhor pra entender o que está acontecendo? Hehe

Para um instante qualquer, vamos chamar de D   a distância entre o míssil e o avião, de x a distância entre o avião e o ponto P e de de y a distância entre o míssil e o ponto P .

Pelo Teorema de Pitágoras podemos falar que:

x 2 + y 2   = D 2

Podemos derivar em relação ao tempo essa expressão pra relacionar as taxas de variação desses caras:

d d t ( x 2 + y 2 )   = d d t ( D 2 )

d x 2 d t + d y 2 d t   = d D 2 d t

Pela Regra da Cadeia:

2 x   d x d t + 2 y   d y d t   = 2 D   d D d t                               e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 2

O enunciado nos diz que o avião está voando com uma velocidade constante de 600   k m / h . Daí podemos tirar que

d x d t =   - 600 k m / h

Lembrando que como o avião se aproxima do ponto P , a distância x está DIMIUINDO, por isso o sinal de menos.

Além disso o míssil está voando a 1.200   k m / h , ou seja:

d y d t =   - 1200   k m / h

O sinal negativo pelo mesmo motivo do anterior.

Passo 3

No instante desejado o avião está a 2   k m do ponto de impacto, o míssil está a 4   k m dele. Então x = 2 k m e y = 4 k m . A partir disso conseguimos achar o valor de D :

x 2 + y 2   = D 2

2 2 + 4 2   = D 2  

D 2 = 20                 ⇒               D = 2 5   k m

Substituindo todos esses dados na equação (1):

2 x   d x d t + 2 y   d y d t   = 2 D   d D d t

2 ( 2 )   ( - 600 ) + 2 ( 4 )   ( - 1 2 00 )   = 2 ( 2 5 )   d D d t

- 600 - 24 00 = 5   d D d t

- 3 0 00 = 5   d D d t

d D d t = - 6 0 0 5   k m / h

Repare que encontramos um d D d t < 0 , o que faz bastante sentido uma vez que a distância entre o avião e o míssil está diminuindo 😊

Resposta

- 6 0 0 5   k m / h

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