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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 49

Se

f x = - x   s e   x < 0 1   s e   x ≥ 0   e   g x = 1   s e   x < 0 x   s e   x ≥ 0

Prove que f e g são descontínuas em 0 mas o produto f.g é contínuo em 0.

Passo 1

O primeiro passo vai ser provar que f e g são descontínuas em 0. Logo, precisamos ou provar que os limites laterais são diferentes ou que o valor das funções no 0 é diferente do limite. Vamos calcular então os limites laterais das funções em torno do 0.

Passo 2

Para a função f:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ - x = 0 , pois estamos usando x < 0 .

lim x → 0 + ⁡ g ( x ) = lim x → 0 + ⁡ 1 = 1 , pois estamos usando x > 0 .

Vemos então que os limites laterais são diferentes, então f é descontínua em 0

Passo 3

Para a função g:

lim x → 0 - ⁡ g x = lim x → 0 - ⁡ 1 = 1 , pois estamos usando x < 0 .

lim x → 0 + ⁡ g ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x = 0 , pois estamos usando x > 0 .

Vemos então que os limites laterais são diferentes, então g é descontínua em 0

Passo 4

Para montarmos as equações da função f . g x , basta multiplicar as equações correspondentes aos mesmos intervalos!

Assim, para x < 0 ,   f . g x = - x . 1 = - x e para x ≥ 0 ,   f . g x = x . 1 = x

Então:

f . g x = - x   s e   x < 0 x   s e   x ≥ 0

Passo 5

Para verificar que o produto f . g ( x ) é contínuo, vamos calcular os limites laterais:

lim x → 0 - ⁡ f . g x = lim x → 0 - ⁡ - x = 0 , pois estamos usando x < 0 .

lim x → 0 + ⁡ f . g ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x = 0 , pois estamos usando x > 0 .

Como os limites são iguais e f . g 0 = 0 = lim x → 0 ⁡ f . g ( x ) , então o produto é contínuo em 0.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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