Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.5 - Ex. 16
Explique por que a função é descontínua no dado número . Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Opa, bora lá! Temos a função:
Temos que justificarmos o motivo de não ser contínua nesse ponto.
Uma função é contínua em um ponto se ela estiver definida nesse ponto e, além disso, o valor da função neste ponto coincidir com o valor do limite. É isso que temos que verificar.
Passo 2
Para , a expressão da função é , que só não poderia ser utilizada exatamente em . Assim, é bem definida em todos os pontos já que em ela é definida a parte a vale .
Então o domínio de é a reta real toda.
Passo 3
Vamos calcular o limite de quando tende a . Quando tomamos o limite, nos aproximamos de por valores de próximos de porém nunca iguais a . Então, a expressão que devemos usar para o limite é .
Vamos calcular os limites laterais. O limite à esquerda é:
O limite à direita é:
Os limites laterais são diferentes (logo o limite não existe) e diferem também do valor da função em (). Portanto, não é contínua em .
Passo 4
O esboço do gráfico da função é:
Prontinho!
Resposta
R: demonstração e esboço de gráfico.